线性筛积性函数-素数，欧拉函数，莫比乌斯函数

积性函数

• 欧拉函数\(\phi(n)\)
• 莫比乌斯函数\(\mu(n)\)
• \(n\)的最小素因子（筛素数时用）
• 最大公约数\(gcd(k, n)\)（\(k\)固定）

线性筛\(n\)的最小素因子

对于每个数\(i\)，素因子分解为\(i=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_r^{k_r}\)，若\(i\)为素数，则\(i=p_1\)。从小到大枚举\([2,p_1]\)范围内的素数\(p\)，则\(p \cdot i\)的最小素因子为\(p\)。当\(p|i\)时，说明\(p=p_1\)，停止枚举。

int mfact[N], prime[N];
void get_mfact(int n)
{
	memset(mfact, 0, sizeof(mfact));
	int tot = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (mfact[i] == 0) mfact[i] = i, prime[tot++] = i;
		for (int j = 0; j < tot && prime[j] * i <= n; j++)
		{
			mfact[prime[j] * i] = prime[j];
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

线性筛素数

int is_prime[N], prime[N];
void get_prime(int n)
{
	for (int i = 1; i <= n; i++) is_prime[i] = true;
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	int tot = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (is_prime[i]) prime[tot++] = i;
		for (int j = 0; j < tot && prime[j] * i <= n; j++)
		{
			is_prime[prime[j] * i] = false;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

线性筛欧拉函数\(\phi(n)\)

对于每个数\(i\)，素因子分解为\(i=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\dots p_r^{k_r}\)，若\(i\)为素数，则\(i=p_1\)。从小到大枚举\([2,p_1]\)范围内的素数\(p\)，当\(p < p_1\)时，\(p\)与\(i\)互素，\(\phi(p \cdot i)=\phi(p) \cdot \phi(i)=(p-1) \cdot \phi(i)\) ；当\(p|i\)时，说明\(p=p_1\)，\(p\)为\(i\)的一个素因子，\(\phi(p \cdot i)=p \cdot \phi(i)\)，并停止枚举。

int phi[N], prime[N];
void get_euler(int n)
{
	memset(phi, 0, sizeof(phi));
	phi[1] = 1;
	int tot = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (phi[i] == 0) phi[i] = i - 1, prime[tot++] = i;
		for (int j = 0; j < tot && prime[j] * i <= n; j++)
		{
			if (i % prime[j]) phi[prime[j] * i] = (prime[j] - 1) * phi[i];
			else { phi[prime[j] * i] = prime[j] * phi[i]; break; }
		}
	}
}

线性筛莫比乌斯函数\(\mu(n)\)

int mu[N], prime[N];
bool is_prime[N];
void get_mobius(int n)
{
    memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (is_prime[i]) prime[tot++] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 0; j < tot && prime[j] * i <= n; j++)
        {
            is_prime[prime[j] * i] = false;
            if (i % prime[j]) mu[prime[j] * i] = -mu[i];
            else { mu[prime[j] * i] = 0; break; };
        }
    }
}