回文树总结

最近学习了回文树，这个比较新颖的数据结构，相应的写了12道关于回文树的题目。所以总结一下。

网络上关于回文树的学习的博客有很多质量很好的，这里就不具体分析回文树的构成了，但是我想把自己对回文树的理解写一下。

首先回文树是两个树，每个节点都是一个回文串。先说节点吧，节点是一个回文子串，但是不记录整个回文子串，而是记录回文串的长度，和两个指针

next指针，和fail指针。这是最基础的，当然我们可以在节点上再增加别的信息。

 next指针一个二维数组，next [ i ] [ j ] ,指向的是第i个节点在两端加上 j 对应的字符形成的回文串节点。next指针也是回文树主要支架，回文树是两棵树。每棵树节点之间都是next指针连接起来，这个和字典树相似。那么fail指针，是一个数组，指向的是该节点回文串中的最长后缀回文串的节点，fail指针式连接两棵树的边，相当于两棵树之间有很多边相互连接，同一棵树上也是有fail将两个节点连接起来的。

下图实线就是next指针，虚线是fail指针

一直说回文树是两棵树，两棵树的区别是，一棵树的节点是长度为偶数的回文串，另一棵树是长度为奇数的回文串。一开始会建立长度是0的节点和长度是-1的节点。长度为0就表示是偶回文串的树的根节点，而长度为-1就表示奇回文树的根节。

这是字符串aaba形成的回文树，aaba中包含四种回文串，a，b，aba，是长度为奇数的回文串，aa，是长度为偶数的回文串，a是aa的最长后缀回文子串，也是aba的最长后缀回文子串。实线是形成两棵树的基础，而虚线则是穿插在两棵树之间的桥梁

下面给出回文树的模板，再具体分析：

struct Tree
{
    int next[MAX+5][26];//next指针
    int num[MAX+5];//当前节点表示回文串中的后缀子回文串的数目
    int cnt[MAX+5];//当前节点表示回文串的个数
    int fail[MAX+5];//fail指针
    int len[MAX+5];//当前节点表示回文串的长度
    int s[MAX+5];//储存字符串
    int p;//节点个数
    int last;//最后一个节点
    int n;//字符串长度
    int new_node(int x)
    {
        memset(next[p],0,sizeof(next[p]));
        cnt[p]=0;
        num[p]=0;
        len[p]=x;
        return p++;
    }
    void init()
    {
        p=0;
        new_node(0);
        new_node(-1);
        last=0;
        n=0;
        s[0]=-1;
        fail[0]=1;
    }
    int get_fail(int x)
    {
        while(s[n-len[x]-1]!=s[n])
            x=fail[x];
        return x;
    }
    int add(int x)
    {
        x-='a';
        s[++n]=x;
        int cur=get_fail(last);
        if(!(last=next[cur][x]))
        {
            int now=new_node(len[cur]+2);
            fail[now]=next[get_fail(fail[cur])][x];
            next[cur][x]=now;
            num[now]=num[fail[now]]+1;
            last=now;
            return 1;
        }
        cnt[last]++;
        return 0;
    }
    void count()
    {
        for(int i=p-1;i>=0;p++)
            cnt[fail[i]]+=cnt[i];
    }
}tree;

如何构造回文树就不赘述了。这里我们分析这种网络上大量普及的模板可以做到哪些功能？

1，字符串中本质不同的回文串的种数。

这里p就是节点个数，也代表不同回文串的种数，每个节点代表的回文串都是独一无二的。

2，字符串中每个本质不同的回文串的个数   即cnt数组。

3，字符串中以某个点为结束或者开始形成的回文串的个数。

4，字符串中回文串总数。

第三个功能，某个点为结束,是通过num数组实现的，每次插入一个字符的时候，要么形成新的回文串要么形成旧的回文串，总之，在插入的时候返回num[last]就可以了。如果以某个点为开始，把字符串倒着输入就可以了

第四个功能就是第一个和第二个结合起来，当然也可以通过第三个稍加计算也可以得出来。

这些是基本的功能，了解这些就可以做一些比较基础的回文串的题目。但是作为ACMer，我们不能止步于这么简单的内容！

下面给出一些比较难的情况：

1，字符串不是从左往右依次给你的，它是一个可以在两头加的不断延长的字符，可以在前面加，也可有在后面加。这个时候应该怎么处理？

首先s数组应该是可以从两边加的，所以s数组设成字符串长度的2倍，那么一开始我们是在中间的，由于要在两边加入字符串，所以我们应该设置两个last指针

表示左边最后一个节点，和右边最后一个节点。那么也要设置两个边界，字符串的边界，表示从中间，左边的字符串长度，右边的字符串长度。这样的话就可以在两边加上字符串。但是你会发现一个问题，当在左边加入一个字符的时候，有可能连着右边的最后一个字符形成一个整的的回文串，那么对于右边而言last就要变了，就要变成整的回文串，所以要进行特判！

2，如果可以删除字符串怎么办？字符串可以加入，也可以删除字符串，当然从结尾开始删

如果加入字符形成了一个新的节点，那么要把该节点删除，即p- -。同时这个字符也形成了指向自己的next指针要把next指针删掉。

如果没有形成新的节点，只需要n- - 就好了，

3，如果现在回文树不是对一个字符串操作，而是要你对两个字符串操作，应该怎么办？

建立两棵回文树？，但是如果要你比较两个字符串有多少公共的回文串子串，两棵树的节点一一比较吗？显然超时。所以在一棵树上进行操作。在插入第一个字符串的时候，我们不用担心，可是插入第二个字符串，肯定会被前面的字符干扰啊。这个时候我们有两种解决办法：

1，可以在两个字符串之间插入2个两个字符串都没有出现过的字符，这样插入第二个字符串的时候肯定不会和第一个字符串形成回文串。

2，插入完第二个字符串的时候，把

        last=0;
        s[0]=-1;
        fail[0]=1;
        n=0;

建立新的数组num，cnt 表示第二个字符串的相关信息。