【数值分析】 -条件数性质证明 笔记

 ① 任意算子范数下的条件数均≥1

　　由矩阵乘法不等式可知

  Cond（A）_r  = ||A||  .  ||A^-1||  ≥  ||A^-1 A|| = ||E|| = 1

  故Cond（A）_r ≥ 1

② 正交矩阵A在“2”范数下的条件数 Cond（A）₂=1

　　A为正交矩阵

　　PS：A为正交矩阵时 ，A^TA=AA^T=E  ；

　　所以 A^T = A-1

　　可证得 CondA）₂ = √（λmax A^TA    /    λmin A^TA   ）=  √（λmax A^-1A    /    λmin A^-1A   ）= 1

　　PS：矩阵特征值 用 |A-λE| =0 求解

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下面证明的正确性有待商榷 !!!

关于证明Q是酉矩阵，A,Q都是n×n阶矩阵，cond₂（QA）=cond₂（AQ）=cond₂（A）如下：

已知Q为酉矩阵，则Q^-1=Q^{T  ；}

而且Q^-1也是酉矩阵。

cond₂（QA）=  || (QA)^-1  || ₂   || QA ||₂

=||  A^-1Q^-1  ||₂    || QA ||₂   

->由于2-范数为酉不变范数->

=||A^-1 ||₂  || A ||₂

= Cond（A）₂

=cond（AQ）₂，此处和cond₂（QA）同理，也是转换后利用酉不变范数特性