二次剩余学习笔记

本来不想学这东西，但是发现学了就能水两个多项式板子，那还是学吧。

1 二次剩余是什么

$$x^2\equiv n\pmod p$$

其中 $p$ 为奇质数。

你发现这玩意很像模意义的开根，事实上就是。

如果方程存在一个解，$n$ 就是模 $p$ 意义下的二次剩余，反之是非二次剩余。

2 解的数量

假设存在多个解。

$$x_0^2\equiv x_1^2\pmod p$$

$$x_0^2-x_1^2\equiv 0\pmod p$$

$$(x_0-x_1)(x_0+x_1)\equiv 0\pmod p$$

$$\because x_0\not\equiv x_1\pmod p$$

$$\therefore x_0+x_1\equiv0\pmod p$$

因此我们证明了如果存在解，必定存在恰好两个解。

3 判断是否是二次剩余

假设 $0<n<p$。

$$n^{p-1}\equiv 1\pmod p$$

$$(n^\frac{p-1}{2})^2\equiv1\pmod p$$

因此 $n^\frac{p-1}{2}\equiv\pm1\pmod p$

结论：取 $1$ 的时候是二次剩余，取 $-1$ 的时候不是。

证明先鸽着。

4 求解二次剩余

我们使用 Cipolla 算法。

首先，我们随便找一个数 $a$，让 $a$ 不是模 $p$ 意义下的二次剩余。

定义 $\omega$ 为一个虚数，使得 $\omega^2=a^2-n$。

那么一个解就是 $(a+\omega)^\frac{p+1}{2}$。