矩阵树定理学习笔记

1 模板

1.1 定理内容#

一张图的生成树个数即为其基尔霍夫矩阵的行列式。

1.2 行列式#

1.3 无向图#

$A[i][i]$：点 $i$ 的点度。

$B[i][j]$：连接 $i,j$ 的边数。

基尔霍夫矩阵即为 $A-B$。

1.4 有向图#

1.4.1 外向树（从 $1$ 向别的点连）#

$A[i][i]$：点 $i$ 的入度。

$B[i][j]$：连接 $i,j$ 的边数。

基尔霍夫矩阵即为 $A-B$。

1.4.2 内向树（从别的点向 $1$ 连）#

$A[i][i]$：点 $i$ 的出度。

$B[i][j]$：连接 $i,j$ 的边数。

基尔霍夫矩阵即为 $A-B$。

2 练习

2.1 [FJOI2007]轮状病毒#

练习 python。

2.2 【模板】Matrix-Tree 定理#

模板题。

2.3 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡#

模板题II。

暴力枚举公司的子集计算方案然后容斥即可。

2.4 [SDOI2014]重建#

数学题。

注意到每棵树的贡献是 $\prod\limits_{i\in\text{tree}}p_i\prod\limits_{i\not\in\text{tree}}(1-p_i)$

我们把每一项除以 $\prod\limits_i(1-p_i)$。

然后每棵树的贡献就是 $\prod\limits_i(1-p_i)\prod\limits_{i\in\text{tree}}\frac{p_i}{1-p_i}$

然后就做完了。