P4920 未来程序

upd：管理员不负责任！我这格式都挂了怎么还能过的（

由于 $\tt{F}\color{red}\tt{orever\_Pursuit}$ 一直想让我写这题于是我就写了。

备注：#9 和 #10 有参照题解。

每个子任务难度评价对照如下：

• EZ：大众分，应该非常简单。
• NM：差不多是大众分，比较简单。
• HD：较难，可能比较难做。
• SP：愚人节题目，不考察选手OI实力。

Program 1（EZ）#

龟速乘，直接用 __int128 就搞定了。

Program 2（NM）#

一个奇怪的循环，列出前几项可以发现一个规律。

在 $n$ 次循环后，$A=F(n)^2,B=F(n-1)F(n),C=F(n-1)^2$，

其中 $F(n)$ 代表斐波那契数列，直接矩阵快速幂一波带走。

Program 3（EZ）#

小学奥数题。

$$\sum\limits_{i=0}^n1=n+1$$

$$\sum_{i=0}^ni=\frac{n\times(n+1)}{2}$$

$$\sum_{i=0}^ni^2=\frac{n\times(n+1)\times(2n+1)}{6}$$

$$\sum\limits_{i=0}^ni^3=(\sum_{i=0}^n i)^2$$

$$\sum\limits_{i=0}^ni^4=(\sum\limits_{i=0}^ni^2)\frac{(3n^2+3n+1)}{5}$$

但是这里要注意分母的常数请直接放到分子的其中一个因数里，不然溢出后除的结果是不对的。

$\uparrow$ 为什么不用 __int128 呢？因为 __int128 也爆炸了！

Program 9（SP）#

$\text{Q1}$：$1984$，不会的请重温笔试/初赛。

$\text{Q2}$：$123456$，没什么好说的。

$\text{Q3}$：$\tt{chenlijie}$，摘掉眼镜或者看 vs code 的预览那边。

$\text{Q4}$：暴力枚举所有符号即可。

$\text{Q5}$ 到 $\text{Q8}$：注意到 Program $2$ 中有一份英语词典，我们可以一个一个代入尝试。

$\text{Q9}$：注意到字符串长度不超过 $7$，所以依旧选择暴力选择字典的两个单词去尝试，这里需要先筛掉长度超过 $5$ 的字符，然后就跑的飞快了。

$\text{Q10}$：注意到 Program $10$ 中已经有这个句子了，我们可以在一个函数中直接得到答案。你也可以直接百度。

Program 7（HD）#

观察样例发现是完成 $16\times16$ 的数独，由于我是贺题怪所以我随便贺了一份代码，跑出来了，很快啊！

正解是舞蹈链，你可以在 SPOJ 的那个数独题里找到这个题的题解。

Program 10（SP）#

一开始的思路是直接转化函数，化递归为递推。

然后我把单个字母的函数推了一遍，其余保留原样，结果编译异常慢。

然后本来只跑一个数据点的，结果答案就全出来了，很快啊！

后来发现 $\text{O(fast)}$ 直接帮你推完了，不讲武德！

Program 4（NM）#

• Task $1$：两个都是 $1$ 且不相同的格子，对答案贡献为 $1$，求答案。
• Solution：设为 $1$ 的格子数量为 $x$，答案就是 $x(x-1)$。
• Task $2$：一个为 $1$ 的格子对答案贡献为所有 $0$ 和它的曼哈顿距离最小值，求答案。
• Solution：显然这个格子一定在左上，右上，左下，右下四个方向里，可以直接 dp。

Program 5（NM）#

统计全为 $1$ 的子矩形数量。

这个也是经典题目，统计以每一行为最后一行的和法矩形数量，使用单调栈计算答案即可。

Program 6（NM）#

学过 pollard-rho 的同学都知道这个东西最后会进入一个环，并且期望进入这个环的时间并不长。

众所周知判环可以用 floyd 或者 brent，brent 快一点，floyd 慢一点，取决于你想用哪个。本机成功使用 floyd 判圈算法在 $1$ 分钟左右的时间内得出答案.

Program 8（HD）#

我们大胆猜测答案是几个组合形式的数，那么答案一定是一个关于 $n$ 的多项式，于是大力插值。

注意 $10^{15}$ 要对模数取模，不然插值的时候会爆 long long。