特殊数学习笔记

感觉有很多高大上的数，自己都不会，还是学一下吧。

1 第一类斯特林数

1.1 意义#

$n$ 个元素组成 $m$ 个环的方案数，元素不同，环不能为空。

1.2 记号#

$$\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}$$

1.3 计算方法#

$$\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}$$

组合意义：

1. 新的数可以放在之前长度为 $x$ 的环里，有 $x$ 种放法，由于所有环环长和为 $n-1$ 所以有 $n-1$ 种不增加环的方法。
2. 新的数可以新开一个环。

1.4 性质#

1.4.1#

$$\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}=n!$$

定义 $next_i$ 为 $i$ 顺时针的第一个珠子，显然 $next$ 是一个排列。

不难发现左边的式子不重不漏地覆盖了所有 $next$ 的排列。

1.4.2#

$$x^{\overline n}=\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i$$

上面那个东西的加强版，可以使用数学归纳法简单证明。

1.4.3#

$$x^{\underline n}=\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}(-1)^{n-i}x^i$$

由于 $x^{\underline n}=(-1)(-x)^{\overline n}$ 所以很好证明。

1.4.4#

$$\sum\limits_{i=k}\begin{bmatrix}i \\ k\end{bmatrix}\dfrac{x^i}{i!}=\frac{1}{k!}(-\ln(1-x))^k$$

$$S_1(x,y)=\sum_{i=0}\sum_{j=0}\begin{bmatrix}i\\j\end{bmatrix}\frac{x^iy^j}{i!}=(1-x)^{-y}$$

我们用组合意义解决顶上的东西。

$n$ 个数放 $1$ 个环的 $\text{EGF}$ 是 $-\ln(1-x)$。

$n$ 个数放 $k$ 个环，环有序的 $\text{EGF}$ 是 $(-\ln(1-x))^k$。

然后因为环无序，直接除以 $k!$ 就可以了。

2 第二类斯特林数

2.1 意义#

$n$ 个元素组成 $m$ 组的方案数，元素不同，组相同。

2.2 记号#

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}$$

2.3 计算方法#

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}$$

组合意义和上面的差不多。

2.4 性质#

2.4.1#

$$m^n=\sum_{i=1}^m\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}A_m^i$$

2.4.2#

$$m^n=\sum_{i=1}^m\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i!\binom{m}{i}$$

$$F(x)=x^n,G(x)=\begin{Bmatrix}n\\x\end{Bmatrix}x!$$

$$F(m)\sum_{i=0}^mG(i)\binom{m}{i}\iff G(m)=\sum_{i=0}^m(-1)^{m-i}F(i)\binom{m}{i}$$

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}m!=\sum_{i=0}^m(-1)^{m-i}i^n\binom{m}{i}$$

2.4.3#

$$\sum\limits_{i=k}\begin{Bmatrix}i \\ k\end{Bmatrix}\dfrac{x^i}{i!}=\frac{1}{k!}(e^x-1)^k$$

$$S_2(x,y)=\sum_{i=0}\sum_{j=0}\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}\frac{x^iy^j}{i!}=\exp(y(e^x-1))$$

我们还是用组合意义解决顶上的东西。

$n$ 个数放 $1$ 个盒子的 $\text{EGF}$ 是 $e^x-1$。

$n$ 个数放 $k$ 个盒子，盒子有序的 $\text{EGF}$ 是 $(e^x-1)^k$。

然后因为盒子无序，直接除以 $k!$ 就可以了。

3 四个斯特林数板子

3.1 第二类斯特林数·行#

最简单的板子，我们直接上式子卷积即可。

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^mi^n\frac{1}{i!}(-1)^{m-i}\frac{1}{(m-i)!}$$

3.2 第一类斯特林数·行#

$$x^{\overline n}=\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i$$

于是我们要求 $x^{\overline{n}}$。

考虑倍增。显然从 $x^{\overline{n}}$ 到 $x^{\overline{n+1}}$ 很水，直接乘一个 $(x+n)$ 就行。

所以我们考虑怎么从 $x^{\overline{n}}$ 到 $x^{\overline{2n}}$。

$$x^{\overline{2n}}=x^{\overline{n}}(x+n)^{\overline{n}}$$

$$x^{\overline{n}}=\sum_{i=0}^nf_ix^i$$

$$(x+n)^{\overline{n}}=\sum_{i=0}^nf_i(x+n)^i$$

$$=\sum_{i=0}^nf_i\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}x^jn^{i-j}$$

$$=\sum_{i=0}^nx^i\sum_{j=i}^n\frac{j!}{i!(j-i)!}n^{j-i}f_j$$

$$=\sum_{i=0}^nx^ii!\sum_{j=i}^nj!f_jn^{j-i}\frac{1}{(j-i)!}$$

然后就可以卷了。

3.3 第二类斯特林数·列#

3.3.1 Solution 1#

我们推 $\text{OGF}$ 可以得到

$$F_k(x)=\sum\limits_{i=k}\begin{Bmatrix}i \\ k\end{Bmatrix}x^i=\sum\limits_{i=k}(k\begin{Bmatrix}i-1\\k\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}i-1\\k-1\end{Bmatrix})x^i$$

$$F_k(x)=x(kF_k(x)+F_{k-1}(x))$$

$$F_k(x)=\frac{x}{1-xk}F_{k-1}(x)$$

$$\because F_0(x)=1$$

$$\therefore F_k(x)=\frac{x^k}{\prod(1-ix)}$$

$\text{OGF}$ 分治计算时间复杂度 $O(n\log^2n)$。

3.3.2 Solution 2#

见 2.4.3。

$\text{EGF}$ 快速幂计算时间复杂度 $O(n\log n)$。

• 提示：贺幂函数板子请使用加强版。

3.4 第一类斯特林数·列#

见 1.4.4。

• 提示：贺幂函数板子请使用加强版。