MR/PR学习笔记

1 Miller-Rabin

1.1 朴素筛法#

• 如何判断一个数是不是质数？
• 如果 $2,3,\cdots,\lfloor\sqrt n\rfloor\not|~n$，那么 $n$ 就是质数。
• 算法复杂度 $O(\sqrt n)$，有点慢。

可惜，如果要保证答案正确，似乎并没有什么好方法了……

等等，答案正确？

1.2 引入&铺垫#

• 没错，我们要使用不正确的算法过题了。

1.2.1 为什么“不正确”的算法能过题#

• 如果你想在机房颓废，但是不知道老师在不在，你可以使用以下这个策略：

1. 颓一分钟，有 $0.8$ 的概率被老师发现。
2. 重复第 $1$ 步 $10$ 次。
3. 如果都没被老师发现，就认为老师不在。

这样的话，我们唯一的失误就是老师在，你颓废 $10$ 次没被发现。

这个的概率是多少呢？$0.2^{10}=0.0000001024$。但是如果你只重复一次，失败的概率高达 $0.2$。

这说明了什么？

我们只要用一个正确率相对高的方法随机采样判断，失误概率可以指数级下降。

1.2.2 一些前置知识#

• 这些知识你可能小学就学过了，但是不要紧，我们来复习一下。下文中 $p$ 都是素数。
• 如果 $(a,p)=1$，$a^{p-1}\equiv1\pmod p$
• 如果 $x^2\equiv1\pmod p$，则 $x\equiv\pm1\pmod p$。

我并不知道为什么很多人说第二个公式 $p$ 必须是奇素数，$2$ 应该也可以吧

1.3 正片开始#

• 我们先钦定一个质数 $p$。你可以随便钦定，比如 $2$，$3$，$13$，甚至是 $19260817$。
• Case 1：显然如果我们判断的数 $x=p$，那么 $x$ 是素数。
• Case 2：显然如果 $p|x$ 且 $x>p$，那么 $x$ 是合数。
• Case 3：显然如果 $p^{x-1}\not\equiv1\pmod x$，那么 $x$ 是合数。
• Case 4：以上三种都没有满足。

0. 初始化 $k=x-1$。
1. 如果 $k$ 是奇数，我们就认定 $x$ 是素数（没错就这么草率）。
2. $k=\frac{k}{2},t=p^k\%x$。
3. 如果 $t\not\equiv\pm1\pmod x$，我们就知道 $x$ 不是素数了。
4. 如果 $t\equiv-1\pmod x$，我们就认定 $x$ 是素数（没错就这么草率）。
5. 回到第一步。

注意到在判断 $x$ 不是素数的时候，我们是肯定的，但是在返回 $x$ 是素数的时候，我用上了草率两字。不难举出很多判断是素数时的反例，然而大多数情况下，判断还是相对准确的。

因此结合 1.2.1 中的内容，只要我们多判断几次，正确率就能接近百分之百了。

注意到我们并没有限制 $p$，所以 $p$ 可以任意取正整数。由于题解中都这么写，我推荐大家使用 $2,3,5,7,11,13,19,61,2333,24251$ 这十个数，听说它能顺利判断出所有 long long 范围的质数。

1.4 实现#

1.4.1 小坑点#

由于模数 $x$ 在 long long 范围，两个模 $x$ 意义下的非负整数相乘可能超出 long long 范围，由于 __int128 效率十分感人并且并不能在 NOI 系列比赛中使用，笔者采用龟速乘实现 $a\times b\%c$。

1.4.2 代码#

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
   int s=0;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
   while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+(ch&15),ch=getchar();
   return s;
}
int mul(int x,int y,int p)
{
	int res=0;
	for(int now=x; y; y>>=1,now<<=1,now%=p) (y&1)&&(res+=now,res%=p);
	return res;
}
int qp(int x,int y,int p)
{
	int res=1;
	for(int now=x; y; y>>=1,now=mul(now,now,p)) (y&1)&&(res=mul(res,now,p));
	return res;
}
bool Miller_Rabin(int x,int p)
{
	for(int t,k=x-1; !(k&1);)
	{
		k>>=1,t=qp(p,k,x);
		if(t!=1&&t!=x-1) return 0;
		if(t==x-1) return 1;
	}
	return 1;
}
const int P[10]={2,3,5,7,11,13,19,61,2333,24251};
bool is_prime(int x)
{
	for(int i=0; i<10; ++i) 
	{
		if(x==P[i]) return 1;
		if(x%P[i]==0) return 0;
		if(qp(P[i]%x,x-1,x)!=1) return 0;
		if(!Miller_Rabin(x,P[i]%x)) return 0;
	}
	return 1;
}
signed main()
{
    int n=read();
    if(is_prime(n)) puts("114514");
    else puts("1919810");
    return 0;
}

2 Pollard-Rho

2.1 朴素筛法#

• 如何分解质因数？
• 找出 $x$ 的所有因子：对所有小于 $\sqrt n$ 的质数试除。
• 算法复杂度 $O(\sqrt n)$，有点慢。

可惜，如果要保证算法靠谱，似乎并没有什么好方法了……

等等，算法靠谱？

2.2 跳过op#

小手一抖，op 没有，我们直入正题。

2.2.1 从 MR 到 PR#

我们已经会高效判断 $x$ 是不是质数了。

如果我们要分解 $x$，并且知道 $x$ 不是质数，我们必然知道 $x$ 有至少一个不超过 $\sqrt x$ 的质因子。

如果我们已经找到了一个数 $t(t>1)$ 使得 $t|x$，我们就可以递归处理 $t$ 和 $\frac{x}{t}$ 了。但是 $t$ 并不好找。

这时，一个神仙出现了：找不到 $t$，我们就找 $t$ 的倍数，这样就增加了 $\sqrt x$ 倍的获奖概率！（为什么是 $\sqrt x$ 倍的中奖概率呢，因为必然存在一个 $t<\sqrt x$，而 $t$ 的整数倍在 $x$ 以内至少存在 $\frac{x}{t}\geq\sqrt x$ 个）

如果我们每次尝试成功的概率是 $\sqrt x$，据说期望复杂度就是 $\text O(n^\frac{1}{4})$

但是找到 $t$ 的倍数又怎么转化回 $t$ 呢……没错，就是 $\gcd$！

因此我们只要随便选几个数 $\gcd$ 就行了。

2.2.2 神奇的优化#

• 神奇的随机算法，floyd 判圈。
• gcd 优化。
• 一个我也看不懂的神奇优化，见讨论区。

2.3 代码（被卡常）#

由于太逊就不给了。

2.4 悲报#

我不懂为什么别人这么快啊……最后还是 system 过了这题/ll