棋盘覆盖
问题描述:
在一个2k x 2k ( 即:2^k x 2^k )个方格组成的棋盘中,恰有一个方格与其他方格不同,称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中,要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。
这里我们用分治法解决该问题。分治法是把一个规模很大的问题分解为多个规模较小、类似的子问题,然后递归地解决所有子问题,最后再由子问题的解决得到原问题的解决。
【解题思路】:将2^k x 2^k的棋盘,先分成相等的四块子棋盘,其中特殊方格位于四个中的一个,构造剩下没特殊方格三个子棋盘,将他们中的也假一个方格设为特殊方格。如果是:
左上的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格
右上的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格
左下的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格
右下的子棋盘(若不存在特殊方格)----则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格
当然上面四种,只可能且必定只有三个成立,那三个假设的特殊方格刚好构成一个L型骨架,我们可以给它们作上相同的标记。这样四个子棋盘就分别都和原来的大棋盘类似,我们就可以用递归算法解决
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <string> #include <cmath> #include <algorithm> #include <ostream> using namespace std; int tile=1; int board[100][100]; void chessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size) { if(size==1) return; int t=tile++;//L型骨牌号 int s=size/2;//分割棋盘 //覆盖左上角子棋盘 if(dr<tr+s&&dc<tc+s)//特殊方格在其中 chessBoard(tr,tc,dr,dc,s); else//特殊方格不在其中 { board[tr+s-1][tc+s-1]=t;//用t号覆盖右下角 chessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s); } //覆盖右上角子棋盘 if(dr<tr+s&&dc>=tc+s) chessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s); else { board[tr+s-1][tc+s]=t;//用t号覆盖左下角 chessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s); } //覆盖左下角子棋盘 if(dr>=tr+s&&dc<tc+s) chessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s); else { board[tr+s][tc+s-1]=t;//用t号覆盖右上角 chessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s); } //覆盖右下角子棋盘 if(dr>=tr+s&&dc>=tc+s) chessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s); else { board[tr+s][tc+s]=t;//用t号覆盖左上角 chessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s); } } int main() { while(1) { int size; cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): "; cin>>size; int index_x,index_y; cout<<"输入特殊方格位置的坐标: "; cin>>index_x>>index_y; chessBoard(0,0,index_x,index_y,size); for(int i=0; i<size; i++) { for(int j=0; j<size; j++) cout<<board[i][j]<<"\t"; cout<<endl; } tile=1; return 0; } }