数据结构(六) - 树

目录

• 树的定义
• 树的基本术语
• 二叉树的定义
• 二叉树的性质
• 两种特殊形式的二叉树
  • 满二叉树
  • 完全二叉树
• 二叉树的存储结构
  • 顺序存储结构
  • 链式存储结构
    • 二叉链表
    • 三叉链表

数据的逻辑结构：

1:1, 1:n,m:n 指的是元素的前驱和后继的个数

树型结构：

树的定义

树的表示方式：

树的其他表示方式：

树的基本术语

有序树/无序树：

森林：

线性结构和树结构的比较：

二叉树的定义

为什么要重点研究每个结点最多只有两个 “叉” 的树？

• 二叉树的结构最简单，规律性最强
• 可以证明，所有树都能转化为唯一对应的二叉树，不失一般性
• 普通树(多叉树)若不转化为二叉树，则运算很难实现

   二叉树在树结构的应用中有着非常重要的作用，因为对二叉树的许多操作算法简单，而任何树都可以与二叉树相互转换
这样就解决了树的存储结构及其运算中存在的复杂性

注意：二叉树不是树的特殊情况，它们是两个概念

思考：

二叉树的五种基本形态：

二叉树的性质

• 性质1

提问：第i层上最少有 几个 结点？（1）

• 性质2

提问： 深度为k时，最少有几个结点？ (k)

• 性质三

从下往上分析有： B = n - 1 (n为二叉树的结点树)
从上往下分析有： B = n2 * 2 + n1 * 1

因此： n-1 = n2 * 2 + n1 * 1 => n = n2 * 2 + n1 * 1 + 1

又因为： n = n2 + n1 + n => n2 + n1 + n0 = n2 * 2 + n1 * 1 + 1 => n0 = n2 + 1 （n 的下标为度）

两种特殊形式的二叉树

满二叉树

• 满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数最多
• 满二叉树在同样深度的二叉树中叶子结点个数最多

完全二叉树

通俗讲就是：完全二叉树的每个结点可以在满二叉树中找到并且位置也一样

特点：

性质4：

补充数学知识：在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的逆运算，反之亦然。
如果a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=loga N。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

二叉树的存储结构

顺序存储结构

例1：

例2：

缺点：

链式存储结构

二叉链表

练习：

2n : 理论上的最多可能存在的指针域

n-1 : n个结点，每个结点和父结点都有一条连线，也就是有一个指针域。但是根结点没有

三叉链表

每个结点增加存储双亲结点的指针，方便查找双亲结点