[笔记] 斐波那契数列

[笔记] 斐波那契数列

基本定义

\(F_0=0,\ F_1=1,\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\)当然视各个题目的体面要求，数列的初始值\(F_0,\ F_1\)可能会又不同

性质

一 恒等式

\(\color{yellow}{{I: }}F_1+F_2+···+F_n=F_{n+2}-1\)
\(证明：\)
\(F_1=F_3-F_2;F_2=F_4-F_3;\)
\(依此类推可知：F_n=F_{n+2}-F_{n-1}\)
\(再把F_1到F_n加起来，中间的可以约掉就会变成：\)
\(F_1+F_2+···+F_n=F_{n+2}-F_2=F_{n+2}-1\)
\(\color{yellow}{{II： }}通过与上面证明类似的做法，可以得出以下结论：\)
\(F_1^2+F_2^2+···+F_n^2=F_n*F_{n+1}\)
\(F_1+F_3+···+F_{2n-1}=F_{2n}\)
\(F_2+F_3+F_6+···+F_{2n}=F_{2n+1}-1\)
\(\color{yellow}{III: }\)\(F_n=F_mF_{n-m+1}+F_{m-1}F_{n-m}\)
\(证明：\)
\(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\)
\(F_n=F_{n-2}+F_{n-3}+F_{n-2}\)
\(F_n=2F_{n-2}+F_{n-3}\)
\(F_n=3F_{n-3}+2F_{n-4}\)
\(F_n=5F_{n-4}+3F_{n-5}\)
\(·······\)
\(F_n=F_mF_{n-m+1}+F_{m-1}F_{n-m}\)

二 其他数论性质

\(\color{yellow}{I: }斐波那契数列中相邻的两项互质\)
\(证明：\)
\(我们知道gcd(a,b)=gcd(b-a,a)\)
\(所以gcd(F_{n-1},F_n)=gcd(F_n-F_{n-1},F_{n-1})\)
\(不断重复上面的式子就可以得到gcd(F_{n-1},F_n)=1\)
\(\color{yellow}{II: }\)\(gcd(F_n,F_m)=F_{gcd(n,m)}\)
\(证明：\)
\(由上面恒等式性质的第二条可以知道:\)
\(gcd(F_n,F_m)=gcd(F_mF_{n-m+1}+F_{m-1}F_{n-m},F_m)(n>m)\)
\(而F_mF_{n-m+1}是F_m的倍数，这就意味着它对最大公约数没有影响，所以可以进行化简\)
\(gcd(F_n,F_m)=gcd(F_{m-1}F_{n-m},F_m)\)
\(根据上面证明的数列中相邻的两个数互质可以知道F_m和F_{m-1}互质，可以知道\)
\(gcd(F_n,F_m)=gcd(F_{n-m},F_m)\)
\(进行求解\)
\(gcd(F_n,F_m)=gcd(F_{n-m},F_m)=gcd(F_{n-2m},F_m)=···\)
\(gcd(F_n,F_m)=gcd(F_{n \mod m},F_m)\)
\(可以观察到下标变化的过程跟辗转相除法求最大公约数的过程是几乎一模一样的，于是：\)
\(gcd(F_n,F_m)=gcd(F_{gcd(n,m)},F_{gcd(n,m)})=F_{gcd(n,m)}\)