[笔记]tarjan+缩点
[笔记]tarjan+缩点
算法用途:
tarjan可以求强连通分量，缩点则是将一个强连通分量缩成一个点
tarjan
概念
1.有向图的强连通分量：再有向图\(G\)中，如果两个顶点\(V_i,V_j\)间有一条从\(V_i\)到\(V_j\)的有向路径同时还有一条从\(V_j\)到\(V_i\)的有向路径，则称这两个点强连通，在一个图的子图中，任意两点可以相互到达则称这组成了一个强连通分量。
2.一个单独的点也是一个强连通分量。
算法描述
变量：
1.\(dfn\)数组:\(dfn[i]\)表示\(i\)这个点再\(dfs\)时是第几个被搜到的
2.\(low[i]\):表示的是\(i\)这个节点和它的子孙节点中\(dfn\)最小的值
3.\(stack\):表示所有可能构成强连通分量的点，其实就是一个栈
算法过程
一 画图理解
tarjan的第一步是对整个图进行\(dfs\),搜完后会得到一棵\(dfs\)树，举个例子.这个树时有向的，显然在这个树上是不会存在环的，因此能产生环的只有可能是一条指向已经访问(搜索)过的边，也就是图中的红边和蓝边。经过观察发现，红边可以产生一个强连通分量，而蓝边不行，因为红边是由\(6\)号节点指向它的祖先\(4\)号节点的，这种红边称为后向边,而蓝边则指向两个没有父子关系的点，这种边称为横叉边，横叉边不一定产生环，而后向边一定产生环。
知道了以上结论后就开始深搜首先会搜到这样的图,此时\(stack = {1,2,3}\)，而\(3\)没有多余的指向其它点的边，因此将\(3\)弹出栈，单独作为一个强连通分量，继续深搜，会搜到这样一个图,此时\(stack = {1,2,7}\) 发现节点\(7\)指向已经搜索过的节点\(3\),是上述两种可能存在环的情况，而此时\(3\)不再\(stack\)中，因此不存在环，将\(7,2\)依次弹出栈中，单独作为一个强连通分量，再次深搜，会搜到这样一个图,此时\(stack = {1,4,5,6}\) 发现节点\(6\)有一条连向其他节点的边，即红边，指向的是节点\(4\),而这个点已经搜索过了，符合上面说的产生环的条件，而此时发现节点\(4\)已经在\(stack\)中说明这是一条后向边，可以产生环，因此\(4\)~\(6\)号节点中的所有点组成一个强连通分量。算法结束
但实际情况可能更复杂,这里出现了大环套小环的问题，我们需要对\(dfs\)过程稍作修改(见下)。
二 算法完整步骤
1.首先初始化\(dfn[u] = low[u] = 第几个被搜索到\)，但并不是一开始就先跑一遍深搜，而是边做边赋值，具体见代码
2.将当前搜索的节点\(u\)存入\(stack\)中
3.遍历每一个与节点\(u\)相连的点，如果遍历到的点的\(dfn\)值为\(0\)则说明这个点之前没有被访问过，那么就对这个没有被访问过的点(假设为\(v\))进行深搜并且更新\(low\)数组的值:low[u] = min(low[u],low[v]),如果与\(u\)相连的点(假设为\(g\))已经被搜索过了,也就是说dfn[g]!=0，此时就更新\(low[u]\)的值：low[u] = min(low[u],dfn[g]),这样就可以保证\(low[u]\)存储的是最先被\(dfs\)到的点，也就保证了找的环是最大的。但为什么是用\(dfn[g]\)来更新呢？因为节点\(g\)可能是另一个强连通分量里的节点，只是还没有出栈，因此节点\(u\)可能不能到达\(low[g]\)，但\(u\)一定可以到达\(dfn[g]\)。
4.那么什么时候说明找到了一个完整的最大的环呢？当我们找到一个点\(u\)满足low[u] == dfn[u]时，说明这个点的子树中不存在比这个点先搜到的点，则节点\(u\)为它所在的强连通分量里的根节点，所以将\(stack\)中\(u\)及它之后的点全部弹出，这就是一个强连通分量。
缩点
算法描述
缩点其实很好理解，也很好实现，只需要新建一个\(col\)数组，用来将同一个连通块内的点染成一个颜色。具体实现看代码。缩完点后的图是一个有向无环图，各个缩完的点由跨越不同强连通分量的边来连接。
例题应用
原题链
题目分析
首先建图，如果\(A\)认为\(B\)受欢迎，则连一条从\(B\)到\(A\)的有向边，这样更方便求强连通分量。然后用\(tarjan\)求出所有的强连通分量，再缩点，找到一个出度为\(0\)的缩完后的点，这就是答案，因为缩完点后的图是一个有向无环图，如果一个缩点有出度，则它一定不能被它连出去的那个缩点的牛所喜欢；而一个缩完点后的图中，也不能出现两个没有出度的缩点，因为这样它们就不能被对方缩点里的牛所喜欢，因此我们的答案是只有一个缩点出度为\(0\)的图中那个缩点的大小
代码（tarjan+缩点 & AC code）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
int to,next;
}edge[100010];
int fir[100010],dfn[100010],low[100010],col[100010],num,tot,coln,size[100010],degree[100010];
stack < int > s;
void add(int x,int y){
tot++;
edge[tot].to = y;
edge[tot].next = fir[x];
fir[x] = tot;
}
void tarjan(int k){
low[k] = dfn[k] = ++num;
s.push(k);
for(int i = fir[k];i;i = edge[i].next){
int x = edge[i].to;
if(!dfn[x]){
tarjan(x);
low[k] = min(low[k],low[x]);
}
else if(!col[x]){//发现后向边
low[k] = min(low[k],dfn[x]);
}
}
if(low[k] == dfn[k]){//找到了一个强连通分量的根节点
col[k] = ++coln;//缩到一个点里
++size[coln];//更新缩点的大小
while(s.top() != k){
col[s.top()] = coln;//缩点
++size[coln];//更新缩点的大小
s.pop();
}
s.pop();//千万不要忘记这一步，要将k节点弹出
}
return;
}
int main(){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i = 1;i <= m;i++){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(y,x);
}
for(int i = 1;i <= n;i++){
if(!dfn[i])
tarjan(i);
}
for(int i = 1;i <= n;i++){
for(int j = fir[i];j;j = edge[j].next){
int x = edge[j].to;
if(col[x] != col[i]){//颜色不同说明不在一个块中，所以出度增加
++degree[col[x]];//因为建的是反向边，所以其实是从x连到i
}
}
}
int flag = 0;//记录有多少出度为0的缩点，如果大于1个则答案为0
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= coln;i++){
if(degree[i] == 0){
++flag;
ans = size[i];
}
}
if(flag != 1){
printf("0\n");
}
else printf("%d\n",ans);
return 0;
}
