洛谷P1578 奶牛浴场
题目大意
又是农夫约翰
有一个 $ L \times W$ 的矩阵,中间有 $ n $ 个障碍,你要框出面积最大的一块长方形,其中不能包含障碍。
数据范围
对于所有数据, \(0 \le n \le 5 \times 10^3,1 \le L,W \le 3 \times 10^4\)
题解
首先,可以根据极大化思想设计一个基本算法:
枚举上下左右四个边界,然后判断组成的矩形是否是有效子矩形。
时间复杂度:$ O \left( S ^ 5\right)$
初步改进算法
算法:枚举左右边界,然后对处在边界内的点排序。
每两个相邻的点和左右边界一起组成一 个矩形。
复杂度: $ O \left( S ^ 3\right)$
可以改进的地方:枚举了部分不是极大子矩形的情况
进一步改进算法
从下面 2 个方面去考虑:
- 保证每一个枚举的子矩形都是有效的
- 保证每一个枚举的子矩形都是极大的
算法的过程
枚举极大子矩形的左边界
\(\to\) 根据确定的左边界,找出相关的极大子矩形
$ \to $ 检查和处理遗漏的情况
首先,将所有障碍点按横坐标从小到大的顺序将点标为 \(1\) 号点,\(2\) 号点……
为了处理方便,在矩形的四个顶点上各增加 \(1\) 个障碍点。
第一次取 \(1\) 号点作为所要枚举的极大子矩形的左边界
设定上下边界为矩形的上下边界
![最大子矩形1](https://img1.imgtp.com/2023/06/16/pD462fP5.png)
从左向右扫描,第一次遇到 \(2\) 号点,可以得到一个有效的极大子矩形
![最大子矩形2](https://img1.imgtp.com/2023/06/16/tthsUhS5.png)
因为左边界覆盖 1 号点且右边界在 2 号点右边的有效子矩形都不能包含 2 号点,
所以需要修改上下边界,2 号点在 1 号点上方,因此要修改上边界
继续扫描到 \(3\) 号点,又得到一个极大有效子矩形,如图所示
![最大子矩形3](https://img1.imgtp.com/2023/06/16/W9Bj75yT.png)
因为 \(3\) 号点在 \(1\) 号点下方,所以要修改下边界。
然后将左边界移动到 \(2\) 号点、\(3\) 号点……横坐标的位置。
开始扫描以 \(2\) 号点、\(3\) 号点……为左 边界的极大子矩形。
遗漏的情况
前面的做法可以找出所有左边界覆盖了一个障碍点的极大子矩形,此外,还有两类遗漏的情况。
第一类
左边界与整个矩形的左边界重合,右边界覆盖一个障碍点的情况。
解决方法
用类似的方法从右向左扫描一次。
第二类
是左边界与整个矩形的左边界重合,且右边界也与整个矩形的右边界重合的情况。
解决方法
预处理时增加特殊判断。
算法步骤:
- 读入数据并记录障碍点的横纵坐标
- 处理特殊情况,得到一个初始的 $ ans$ 值
- 上下为矩形边界的特殊情况
- 左右为矩形边界的特殊情况
- 把障碍点先按照 \(x\) 从小到大排序,\(x\) 相同时 \(y\) 从小到大
- 从左到右枚举每个障碍点 \(i\) 作为左边界
- 初始化 \(L = 0;R = Wide;maxL = Len - a[i].x\)
- 从左到右扫描其他障碍点 \(j\)
- 最优性剪枝 \(if((R-L)*maxL \le Ans) break;\)
- 若此点在上边界上方或下边界下方或与 \(i\) 点在同一列, 则 \(continue\)
- 计算比较 \(Ans = \max(Ans,(R - L) \times (a[j].x - a[i].x))\)
- 若 \(i\) 与 \(j\) 处在同一行则退出,因为上下边界重合后后面的点无影响
- 修改上下边界
- 从右到左枚举每个障碍点 \(i\) 作为右边界
- 从左到右枚举每个障碍点 \(i\) 作为左边界
- 输出 \(Ans\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define N 50010
using namespace std;
struct node{
int x,y;
}a[N];
int l,w,n,b[N],c[N],ans = 0;
bool cmp(node a,node b){
return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&l,&w,&n);
for(int i = 1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
b[a[i].x] = 1,c[a[i].y] = 1;
}
b[0] = 1,c[0] = 1;a[++n].x = 0,a[n].y = 0;
b[l] = 1,c[w] = 1;a[++n].x = l,a[n].y = w;
a[++n].x = l,a[n].y = 0;
a[++n].x = 0,a[n].y = w;
sort(a+1,a+n+1,cmp);
int maxl,last = 0,lt,rt,j;
for(int i = 1;i<=l;i++){
if(!b[i]) continue;
ans = max(ans,w*(i-last));
last = i;
}
last = 0;
for(int i = 1;i<=w;i++){
if(!c[i]) continue;
ans = max(ans,l*(i-last));
last = i;
}
for(int i = 1;i<=n;i++){
lt = 0,rt = w,maxl = l-a[i].x;
if(maxl*(rt-lt)<ans) break;
for(j = i+1;j<=n;j++){
if(a[j].y<lt||a[j].y>rt||a[i].x==a[j].x)continue;
ans = max(ans,(rt-lt)*(a[j].x-a[i].x));
if(a[j].y==a[i].y) break;
if(a[j].y<a[i].y) lt = max(lt,a[j].y);
else rt = min(rt,a[j].y);
}
if(j>n) ans = max(ans,(rt-lt)*(l-a[i].x));
}
for(int i = n;i>=1;i--){
lt = 0,rt = w,maxl = a[i].x;
printf("%d\n",maxl*(rt-lt));
if(maxl*(rt-lt)<ans) break;
for(j = i-1;j>=1;j--){
if(a[j].y<lt||a[j].y>rt||a[i].x==a[j].x)continue;
ans = max(ans,(rt-lt)*(a[i].x-a[j].x));
if(a[j].y==a[i].y) break;
if(a[j].y<a[i].y) lt = max(lt,a[j].y);
else rt = min(rt,a[j].y);
}
if(j<1) ans = max(ans,(rt-lt)*a[i].x);
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
梦与现实间挣扎着,所求为何
你可以借走我的文章,但你借不走我的智慧 虽然我是傻逼本文来自博客园,作者:cztq,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/cztq/p/17486335.html