洛谷P2015 二叉苹果树

sloj P10153. 「一本通 5.2 例 1」二叉苹果树

P2015 二叉苹果树

题目描述

有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分二叉（就是说没有只有一个儿子的结点）

这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1∼N，树根编号一定是1

我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树：

2   5
 \ / 
  3   4
   \ /
    1

现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。

给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。

输入格式

第一行2个整数N和Q，分别表示表示树的结点数，和要保留的树枝数量。

接下来N−1行，每行3个整数，描述一根树枝的信息：前2个数是它连接的结点的编号，第3个数是这根树枝上苹果的数量。

输出格式

一个数，最多能留住的苹果的数量。

输入输出样例

输入 #1复制

5 2
1 3 1
1 4 10
2 3 20
3 5 20

输出 #1复制

21

说明/提示

1<=Q<N<=100，每根树枝上的苹果<=3×10⁴。 

我乍一看，貌似可以记忆化搜索，嗯对，确实可以

不过呢，我想作死挑战极限，所以我就写了个极其让人秃头普通的树形dp

本题权值在边上，这对思考问题有些别扭，其实只要把边的权值转移到儿子结点上，问题仍然性质不变。

需要保留的树枝数量为 M 条，即保留结点数目 j=M+1 个。树根必须保留，可以分三种情况讨论：

• 树根的左子树为空，全部保留右子树，右子树中保留 j-1 个结点；这种可以合并到第三种

• 树根的右子树为空，全部保留左子树，左子树中保留 j-1 个结点；这种也可以合并到第三种

• 树根的两棵子树非空，设左子树保留 k 个结点，则右子树保留 j-k-1 个结点。就这种有用

前两种情况就是第三种取k=j时和k=0时，但是分三种对于后面简单一点

很明显，要想保留树根时的苹果数最大，只需要求出上述三个方案中的最大值即可。

设树根为 i，左儿子为 ch[i][0], 右儿子为 ch[i][1]；

对于 (1) 方案，要取得该方案的最大值，需要取得以 ch[i][1] 为根，保留 j-1 个结点的最大值。

这时同样具有上述三种方案。

其他 (2)(3) 情况同理；

由此可以看出，该问题具有明显的最优子结构性质，每个问题都与左右儿子结点有关系，但

不与孙子结点发生关系，具备无后效性；且计算方案时，搜索子结构时具备重叠性，可以用动态规划来解决。

看了算法标签之后才想到的

设 f[i,j] 表示以 i 为根的子树上保留 j 个节点时最多能保留的苹果数量。设 ch[i,0],ch[i,1] 分别为i 节点的左右孩子。

状态转移方程：这不难吧，狗头保命

f[i, j] = max{f[ch[i, 0], k] + f[ch[i, 1], j − k − 1] + a[i]}(0 <= k <= j − 1)

初始化：f[i,j]=0；(j=0，即表示以 i 为根选 0 个结点)；

f[i,j]=a[i]；(ch[i,0]=0 且 ch[i,1]=0, 即叶子结点时)

Answer=f[1,M+1]；

注意：本题知道根为 1；若不知道根结点需要枚举根节点，再建立树；

那么又到了你们最喜欢的环节

上 代 码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q,g[110][110],ch[110][10],f[110][110],a[110];
void dfs(int x){
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        if(g[x][i]>=0){
            if(!ch[x][0]){
                ch[x][0] = i;
                a[i] = g[x][i];
                g[i][x] = g[x][i] = -1;
                dfs(ch[x][0]);
            }else{
                ch[x][1] = i;
                a[i] = g[x][i];
                g[i][x] = g[x][i] = -1;
                dfs(ch[x][1]);
            }
        }
    }
}
int dp(int i,int j){
    if(i==0||j==0)
        return 0;
    if(ch[i][0]==0&&ch[i][1]==0)
        return a[i];
    if(f[i][j]>0)
        return f[i][j];
    for(int k = 0;k<j;k++)
        f[i][j] = max(f[i][j],dp(ch[i][0],k)+dp(ch[i][1],j-k-1)+a[i]);
    return f[i][j];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    q++;
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        for(int j = 1;j<=n;j++)
            g[i][j] = -1;
    for(int i = 1;i<n;i++){
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        g[x][y] = g[y][x] = z;
    }
    dfs(1);
    printf("%d",dp(1,q));
    return 0;
}