非旋平衡树（fhq-treap）详解

主要参考：FHQ-Treap(非旋treap/平衡树)——从入门到入坟_hsez_yyh的博客-CSDN博客_fhq树

平衡树这玩意吗，首先他的是一棵树对吧，而且得是一颗二叉树

肯定还得是个二叉搜索树吧，

于是我们可以定义如下结构体：

struct node{
    int l,r,key,val,si;
}tr[200010];

其中si表示整个以此节点为根的子树的大小，val表示优先级。key就是此节点所带的键值

平衡树就是建立在键值与优先级的基础上的。

顾名思义，平衡树，肯定得让这棵树左右两边平衡而不是差距过大，来保持logn级的复杂度，优先级就是这个目的

这时我们需要引出一个重要的性质：

对于任意fhq-treap中的节点 i ，其左子树上的所有节点的key小于等于 i 节点的key值，i 节点所有右子树上所有节点的key 大于等于 i 节点的key值；对于任意节点 i ，其左、右儿子的val值大于等于 i 的val值

嗯，似曾相识。

没错，与小根堆一样，不然你以为treap这名字怎么来的？（treap = tree+heap）

但在这里还是提醒一句：千万别记错了，不然直接爆零（应该没人会比我傻吧）

fhq-treap相较于splay，有着一个不会退化成链好处，还有一个具有争议的部分，时间复杂度，究竟是o(nlogn)还是O(nlog^2(n))

我是不知道了，还请读者自行判断（偷懒了）个人偏向第一种（主要是我算不来啊）

接着讲第二点

分裂与合并操作，主要作用就是代替旋转：

分裂，一看就知道是将树扯成两半，只不过是按照一个参照来分裂

众所周知，二叉搜索树所有的左子树小于根而右子树大于根

根据这一点，我们即可以把树分为小于参照的与大于参照的

下面代码中的x即为参照，p为当前位置l和r即是指向左右子树

void split(int p,int x,int &l,int &r){
　　 //p为当前所在节点，l，r，为分裂后的值，这里用指针是方便传递值（应该不会有人认为这值就不用了吧）
    if(!p){//判断此树是否为空
        l = r = 0;
        return ;
    }
    if(tr[p].key<=x){//当参照大于等于当前节点键值，左子树全部小于当前节点键值，所以全部小于参照
        l = p;//当前节点为其左子树
        split(tr[l].r,x,tr[l].r,r);//继续往右子树
    }else{//当参照小于当前节点键值，右子树值全部大于键值
        r = p;//当前节点为右子树
        split(tr[r].l,x,l,tr[r].l);//继续往左子树找
    }
    pushup(p);//与线段树一个道理，向上更新
}

合并吗，就是把分出来的两半再合一起呗

当然，这个就没有参照了，反正就比个大小然后就并起来了

int merge(int l,int r){
    if(!l||!r)//如果有空树
        return l|r;//返回空树
    if(tr[l].val<=tr[r].val){
　　　　　//左子树优先级小于右子树，合并左右子树
        tr[l].r = merge(tr[l].r,r);
        pushup(l);//别忘了更新
        return l;
    }else{
　　　　　//同理
        tr[r].l = merge(l,tr[r].l);
        pushup(r);
        return r;
    }
}

第三点：

插入与删除

插入吗，也就是建树，我们只需要给这个需要插入的元素找个合适的位置就行了

原来嘛自然是用旋转，但我们现在有了分裂与合并操作

插入自然是先分裂，给x找出位置后再合并

删除就是将树分裂成三部分，再将除了x的两部分合并起来，还需要记录一下根节点

void insert(int x){
    split(rt,x-1,dl,dr);
    rt = merge(merge(dl,getrand(x)),dr);
}
void delet(int x){
    split(rt,x-1,dl,dr);
    split(dr,x,tmp,dr);
    tmp = merge(tr[tmp].l,tr[tmp].r);
    rt = merge(dl,merge(tmp,dr));
}

第四点：
查询x的排名，这个应该不用多说

int getrk(int x){
    split(rt,x-1,dl,dr);
    int rnk = tr[dl].si+1;
    rt = merge(dl,dr);
    return rnk;
}

第五点：

查询前驱与后继，查询排名为x的数

此处思想就为二叉搜索树

若要查前驱，getnum(dl,tr[dl].si);因为前缀是<=x中排名最后的

若要查后继，getnum(dr,1);因为后缀即为>x中排名第一的

查询排名为x的数就是直接getnum(root,x);

读者可自己揣摩揣摩

int getnum(int p,int x){
    int u = tr[tr[p].l].si+1;
    if(u==x) return tr[p].key;
    if(u>x) return getnum(tr[p].l,x);
    else return getnum(tr[p].r,x-u);
}

于是乎，将这些结合在一起，我们就能A了这道板子题（题目链接）

最后说一句，多多手动模拟，会对其理解更深（不是我想整你们·，真不是）

此处为维护值域的平衡树，过几天再补上一个维护序列的

蒟蒻瞎扯完毕

2022-10-28 16:44:43

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更新一手

fhq-treap维护区间修改

此时，split函数需要重新写，void split(int p,int x,int &l,int &r)的意思不再是分离<=k和>k的两棵树

而是变为了 将序列p的前x个元素分离出来形成一棵新fhq-treap的l子树，另外的一部分形成另一颗 fhq-treap的r 子树

所以，split你会发现写法像极了前面的普通平衡树的getnum函数

void split(int p,int x,int &l,int &r){
    if(!p){
        l = r = 0;
        return ;
    }
    pushdown(p);
    int u = tr[tr[p].l].si+1;
    if(u<=x){
        l = p;
        split(tr[l].r,x-u,tr[l].r,r);
        pushup(l);
    }else{
        r = p;
        split(tr[r].l,x,l,tr[r].l);
        pushup(r);
    }
}

完整版例题+代码可以看这里