欧几里得算法

【辗转相除法求GCD】

欧几里得法求GCD效率较辗转相减法求GCD而言效率要高得多。

算法原理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

 

首先我们可以假设a=k∗b+ra=k∗b+r（其中的r代表着a/b的余数，也就是a%b的结果）

  1.首先我们假设d是a和b的最大公约数，则我们可以知道 a可以整除d，表示为a|b，b也可以整除d,表示为b|d，由于r=a−k∗br=a−k∗b 其中a是d的倍数，而且b也是d的倍数，那我们可以得到其实r也是d的倍数，换句话说r也是可以整除d.

  2.接下来我们假设d是b和r的最大公约数，则我们可以知道b可以整除d,表示为b|d，r也可以整除d，表示为r|d,由于a=k∗b+ra=k∗b+r其中b是d的倍数，而且r也是d的倍数，那我们可以得知其实a也是d的倍数，换句话说a也是可以整除d.

通过以上的充分必要式的证明方法，我们可以得到：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

 

【gcd模板】

int gcd(int a, int b){
    if(b == 0)    return a;
    return gcd(b, a%b);
}

 

【扩展欧几里得算法】

解决问题：ax + by = gcd(a,b)的一组整数解x0 y0

算法原理：

（1）当b = 0时，很显然 x = 1,y = 任意整数。不妨x = 1, y = 0

（2）设 bx' + (a%b) y' = gcd(b , a%b)

由欧几里得算法：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

从而：ax + by = bx' + (a%b) y'； 即 ax + by = bx' + (a - a/b*b)y'

整理成关于a,b的不定方程：ax + by = ay' + b(x' - a/by')，系数对应相等得到：

x = y' ;

y = x' - a/by'

 

试想：如果不断迭代下去，直至b = 0，然后运用（1）的结果直接得到（x' = 1, y '= 0）反推回去，是不是就能够得到初始的x,y的值了？

 

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = ex_gcd(b,a%b,x,y);

    int t = x;//保存上一次的x'
    x = y;//本次的x是上一次的y'
    y = t - a/b*y;//本次的y是上一次的x' - a/b*y'

    return r;
}

 

【定理总结】

(1)二元一次不定方程 ax + by = k有解的充要条件是 gcd(a,b) | k

 

(2)若ax + by = gcd(a,b)的一组特解是x0 ,y0,则通解：

x = x0 + b/gcd(a,b) * t ;

y = y0 -  a/gcd(a,b) * t ,

方程ax + by = k的解是x,y乘上 k/gcd(a,b)，即x = (x0 + b/gcd(a,b) * t) * k/gcd(a,b)

 

(3)要求方程ax + by = k的x的最小正整数解，则先求一个x0,y0，令p = b/gcd(a,b) 

然后令 x = (x0 + p)* k/gcd(a,b), x = (x%p + p)%p.对应的y =（k - a*x） / b

 

 

【例题】

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