树上差分

树上差分

点差分

• cf[maxn] cf[i]记录点i被经过了多少次

• 当s->t最短路径上每个点都被经过一次，则:

  cf[s]++;
  cf[t]++;
  cf[lca(s,t)]--;
  cf[ father[lca(s,t)] ]--;
  

边差分

• cf[maxn] 记录点i到其父节点的边被经过了多少次

• 当s->t最短路径上每个边都被经过一次，则:

  cf[s]++;
  cf[t]++;
  cf[lca(s,t)] -= 2;
  

核心算法

• LCA，可以用倍增法，在线求LCA(s,t),

  int depth[maxn];//记录每个结点的深度 根节点深度为0
  int fa[maxn][20];//fa[i][j]表示i结点向上爬 2^j是哪个结点
  //预处理出每个结点的深度和其直接父节点
  void dfs(int u, int pre, int d){
      fa[u][0] = pre;//向上一个当然是直接父节点 pre
      depth[u] = d;//深度
      for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt){
          int v = edge[i].v;
          if(v != pre){
              //求点到树根的距离
              dist[v] = dist[u] + edge[i].w;
              dfs(v , u, d+1);
          }
      }
  }
  //倍增预处理出fa数组
  void init(){
      //有点区间DP的意思
      for(int j=0; (1<<(j+1))<n; j++){
          for(int i=1; i<=n; i++){
              if(fa[i][j] < 0) fa[i][j+1] = -1;
              else fa[i][j+1] = fa[fa[i][j]][j];
          }
      }
  }
  //给定俩个结点在线求其LCA
  int LCA(int u, int v){
      //保证v是较深的点
      if(depth[u] > depth[v]) swap(u , v);
      int temp = depth[v] - depth[u];//深度差
      //先把v调到与u等高处
      for(int i=0; (1<<i)<=temp; i++){
          if((1<<i) & temp) v = fa[v][i];
      }
      if(u==v) return u;
      //然后两个人比翼双飞
      for(int i=(int)(log(1.0*n)/log(2.0)); i >= 0; i--){
          if(fa[u][i] != fa[v][i]){
              u = fa[u][i];
              v = fa[v][i];
          }
      }
      return fa[u][0];
  
  }
  

• DFS遍历树得到差分数组,得到cf[i] (这个顶点或者边被经过了多少次)

  //遍历差分 
  void dfs2(int u, int f){
      for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt) {
          int v = edge[i].v;
          if(v == f) continue;
          dfs2(v , u);
          cf[u] += cf[v];
      }
  }
  

例题

• 洛谷 P3128 [USACO15DEC]最大流Max Flow

• 题意：点差分板子题

  //LCA 倍增 大家一起跳跳跳
  #include<iostream>
  #include<queue>
  #include<list>
  #include<vector>
  #include<cstring>
  #include<set>
  #include<stack>
  #include<map>
  #include<cmath>
  #include<algorithm>
  #include<string>
  #include<stdio.h>
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  #define MS(x,i) memset(x,i,sizeof(x))
  #define rep(i,s,e) for(int i=s; i<=e; i++)
  #define sc(a) scanf("%d",&a)
  #define scl(a) scanf("%lld",&a)
  #define sc2(a,b) scanf("%d %d", &a, &b)
  #define debug printf("debug......\n");
  #define pfd(x) printf("%d\n",x)
  #define pfl(x) printf("%lld\n",x)
  const double eps=1e-8;
  const double PI = acos(-1.0);
  const int inf = 0x3f3f3f3f;
  const ll INF = 0x7fffffff;
  const int maxn = 5e4+10;
  int dx[4] = {0, 0, 1, -1};
  int dy[4]  = {1, -1, 0 , 0};
  
  int t,n,k;
  vector<int> G[maxn];
  int s,e,lca;
  int depth[maxn];//记录每个结点的深度 根节点深度为0
  int fa[maxn][20];//fa[i][j]表示i结点向上爬 2^j是哪个结点
  
  int ans = -1;//最终答案 
  int value[maxn];//每个结点的点权 
  
  
  //预处理出每个结点的深度和其直接父节点
  void dfs(int u, int pre, int d){
      fa[u][0] = pre;//向上一个当然是直接父节点 pre
      depth[u] = d;//深度
      for(int i=0; i<G[u].size(); i++){
          int v = G[u][i];
          if(v != pre){
              dfs(v , u, d+1);
          }
      }
  }
  //倍增预处理出fa数组
  void init(){
      //有点区间DP的意思
      for(int j=0; (1<<(j+1))<n; j++){
          for(int i=1; i<=n; i++){
              if(fa[i][j] < 0) fa[i][j+1] = -1;
              else fa[i][j+1] = fa[fa[i][j]][j];
          }
      }
  }
  //给定俩个结点在线求其LCA
  int LCA(int u, int v){
      //保证v是较深的点
      if(depth[u] > depth[v]) swap(u , v);
      int temp = depth[v] - depth[u];//深度差
      //先把v调到与u等高处
      for(int i=0; (1<<i)<=temp; i++){
          if((1<<i) & temp) v = fa[v][i];
      }
      if(u==v) return u;
      //然后两个人比翼双飞
      for(int i=(int)(log(1.0*n)/log(2.0)); i >= 0; i--){
          if(fa[u][i] != fa[v][i]){
              u = fa[u][i];
              v = fa[v][i];
          }
      }
      return fa[u][0];
  
  }
  
  //遍历差分 
  void dfs2(int u, int f){
      for(int i=0; i<G[u].size(); i++){
          int v = G[u][i];
          if(v == f) continue;
          dfs2(v , u);
          value[u] += value[v];
      }
      if(value[u] > ans) ans = value[u];
  }
  
  
  int main(){
      int u,v;
      while(sc2(n,k) != EOF){
          MS(value , 0);
          rep(i , 1, n) G[i].clear();
          rep(i , 1, n-1){
              sc2(u,v);
              G[u].push_back(v);
              G[v].push_back(u);
          }
          dfs(1 , 0 , 1) ;//初始化LCA 
          init(); 
          for(int i=1; i<=k; i++){
              sc2(u , v);
              value[u]++;
              value[v]++;
              int lca = LCA(u,v);
              value[lca]--;
              value[fa[lca][0]]--;
          }
          
          dfs2(1 , 0);
          pfd(ans);
      }
      return 0;
  }
  
  

• 洛谷 P2680 运输计划 (边差分)

• 题意: 给定一棵N个结点的带权树，以及K条路径，现在可以使某一个边的权值变为0，使某条路径的总长度变小，问这些路径的最大值的最小值是多少？

• 思路：

  • 先找出最长路径mx和最长边me，那么答案ans必然处于[mx-me , mx]之间

  • 二分答案ans，什么时候ans是合法的呢？一是ans>=mx，必然合法；而是若有ct条路径均大于ans，想要使得减去某一条边后这ct条路径各自长度都小于ans，则必然是存在一条长度为len的公共边，且len >= mx - ans(这ct条路径中的最长路径减去这条边后路径长不超过ans)

  • 什么时候它才是公共边？那就是对这ct条边进行差分，进行cf操作后跑dfs，然后看是否存在一条边cf[i] = ct && len[i] >= mx - ans

    //LCA 倍增 大家一起跳跳跳
    #include<iostream>
    #include<queue>
    #include<list>
    #include<vector>
    #include<cstring>
    #include<set>
    #include<stack>
    #include<map>
    #include<cmath>
    #include<algorithm>
    #include<string>
    #include<stdio.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    #define MS(x,i) memset(x,i,sizeof(x))
    #define rep(i,s,e) for(int i=s; i<=e; i++)
    #define sc(a) scanf("%d",&a)
    #define scl(a) scanf("%lld",&a)
    #define sc2(a,b) scanf("%d %d", &a, &b)
    #define debug printf("debug......\n");
    #define pfd(x) printf("%d\n",x)
    #define pfl(x) printf("%lld\n",x)
    const double eps=1e-8;
    const double PI = acos(-1.0);
    const int inf = 0x3f3f3f3f;
    const ll INF = 0x7fffffff;
    const int maxn = 3e5+10;
    int dx[4] = {0, 0, 1, -1};
    int dy[4]  = {1, -1, 0 , 0};
    
    int t,n,k;
    
    int head[maxn];//head数组 
    int cnt;//边数 
    int dist[maxn];//点i到根节点的路径长度 
    int cf[maxn];//cf[i]表示i到father[i]这条边被经过了多少次
    int dis[maxn];//dis[i]表示第i个路径的总长度 
    int mx;//最长路径长度 
    int me;//最长边 
    int ans;//最终结果 
    struct node{
        int v;
        int nxt;
        int w;
    }edge[maxn<<1];
    
    int lca[maxn]; //存第i个路径两端点的LCA 
    int depth[maxn];//记录每个结点的深度 根节点深度为0
    int fa[maxn][20];//fa[i][j]表示i结点向上爬 2^j是哪个结点
    int l[maxn],r[maxn];//存路径端点 
    
    void Init(){
        cnt = 1;
        mx = me = -1; 
        rep(i , 0 , n){
            head[i] = 0;
            dis[i] = 0; 
        }
    }
    void addEdge(int u, int v, int w){
        edge[cnt].v = v;
        edge[cnt].w = w;
        edge[cnt].nxt = head[u];
        head[u] = cnt++;
    }
    //预处理出每个结点的深度和其直接父节点
    void dfs(int u, int pre, int d){
        fa[u][0] = pre;//向上一个当然是直接父节点 pre
        depth[u] = d;//深度
        for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt){
            int v = edge[i].v;
            if(v != pre){
                dist[v] = dist[u] + edge[i].w;
                dfs(v , u, d+1);
            }
        }
    }
    //倍增预处理出fa数组
    void init(){
        //有点区间DP的意思
        for(int j=0; (1<<(j+1))<n; j++){
            for(int i=1; i<=n; i++){
                if(fa[i][j] < 0) fa[i][j+1] = -1;
                else fa[i][j+1] = fa[fa[i][j]][j];
            }
        }
    }
    //给定俩个结点在线求其LCA
    int LCA(int u, int v){
        //保证v是较深的点
        if(depth[u] > depth[v]) swap(u , v);
        int temp = depth[v] - depth[u];//深度差
        //先把v调到与u等高处
        for(int i=0; (1<<i)<=temp; i++){
            if((1<<i) & temp) v = fa[v][i];
        }
        if(u==v) return u;
        //然后两个人比翼双飞
        for(int i=(int)(log(1.0*n)/log(2.0)); i >= 0; i--){
            if(fa[u][i] != fa[v][i]){
                u = fa[u][i];
                v = fa[v][i];
            }
        }
        return fa[u][0];
    
    }
    
    //遍历差分 
    void dfs2(int u, int f){
        for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt) {
            int v = edge[i].v;
            if(v == f) continue;
            dfs2(v , u);
            cf[u] += cf[v];
        }
    }
    
    //这条边必须出现了ct次， 并且它的长度不小于len 
    bool dfsCheck(int u, int f, int ct, int len){
        for(int i=head[u]; i ; i=edge[i].nxt){
            int v = edge[i].v;
            if(v == f) continue;
            if(cf[v] == ct && edge[i].w >= len) return 1;
            if(dfsCheck(v , u, ct , len)) return 1;
        } 
        return 0;//根节点返回还找不到，那就不存在这样的公共边 
    }
    
    bool judge(int ans){
        int ct = 0;//路径长度超过ans的路径个数
        MS(cf , 0);//把各点经过的次数清零 
        if(ans >= mx) return 1;//如果当前答案大于等于最长路径 肯定行
        rep(i , 1, k) { //寻找哪些路径长度大于当前ans，找到，求是否存在一条比较长的公共边使得减去后mx小于等于ans 
            if(dis[i] > ans){
                ct++;
                cf[l[i]]++;
                cf[r[i]]++;
                cf[lca[i]] -= 2;
            }
        }
        dfs2(1 , 0); //计算在这些超过ans长度的路径中，每条边被经过的次数 
        return dfsCheck(1 , 0, ct , mx - ans); 
    } 
    
    int main(){
        int u,v,w;
        while(sc2(n,k) != EOF){
            Init();
            //建树 
            rep(i , 1, n-1){
                sc2(u,v);
                sc(w);
                addEdge(u,v,w);
                addEdge(v,u,w);
                me = max(me , w); 
            }
    
            dfs(1 , 0 , 1) ;//初始化LCA 
            init(); //初始化LCA
            
            //读取路径 
            rep(i , 1, k){
                sc2(u , v);
                l[i] = u;
                r[i] = v; 
                lca[i] = LCA(u,v);
                dis[i] = dist[u] + dist[v] - 2*dist[lca[i]] ;//求该路径的长度 
                mx = max(mx , dis[i]);//求出最长路径 
            }
            
            int lo = mx - me;
            int hi = mx + 1;
            while(lo <= hi){
                int mid = (lo + hi) / 2;
                if(judge(mid)){
                    hi = mid - 1;
                    ans = mid;
                } 
                else{
                    lo = mid + 1;
                }
            }
            
            pfd(ans);
        }
        return 0;
    }