生成函数
母函数
定义
- 又称生成函数，用多个独立多项式相乘来解决组合问题。
- 只关心多项式的系数，而不关心变量x的取值
普通型母函数
HDU 1085
-
题意：给你1,2,5这几个硬币，每一个有a,b,c个，问你最小的不能达到的价值是多少？
-
代码
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int maxn = 1e4; int a,b,c;//1 2 5硬币的数量 int t1[maxn];//中间结果存放系数 int t2[maxn];//中间结果 存放 int r[maxn];//最终结果存放 int main(){ while(cin>>a>>b>>c){ if(a + b + c == 0) break; int limit = a + 2*b + 5*c;//最多能表示的钱 memset(r , 0 , sizeof r); for(int i=0; i<=limit+1; i++){ t1[i] = t2[i] = 1; } for(int i=0; i<=a; i++){ //枚举第一个多项式的次数 i for(int j=0; j<=2*b; j+=2){ //枚举第二个多项式的次数 j r[i+j] += t1[i]*t2[j] ;//得到的是对i+j次数的贡献 } } for(int i=0; i<=a+2*b; i++){ //多项式1和多项式2相乘的中间结果最高次数不超过a+2b t1[i] = r[i];//t1暂存多项式1和多项式2相乘的中间结果 t2现在代表多项式3的系数 r[i] = 0; } for(int i=0; i<=a+2*b; i++){ for(int j=0; j<=5*c; j+=5){ r[i+j] += t1[i]*t2[j]; } } for(int i=0; i<=limit+1; i++){ if(r[i] == 0){ cout<<i<<endl; break; } } } return 0; }
HDU 1171
- 题意：题目大意有n个物品，每个物品都有价值v和数量m，要分成两堆，使价值尽量接近
- 解法1：当成多重背包做，先转化为0-1背包，然后把背包容量定义成总价值的一般，并且定义没见物品的价值和重量一样，然后解0-1背包问题
- 解法二：用母函数做。相当于各种物品生成的多项式独立，最后乘起来可以得到各种组合价值的方案数量，从sum/2往后找第一个系数不为0的项即可
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1e6;
const int N = 1010;
int t1[maxn];//中间结果存放系数
int t2[maxn];//中间结果 存放
int r[maxn];//最终结果存放
int n;
int v[N],num[N];
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin>>n && n >= 0){
if(n == 0) cout<<"0 0"<<endl;
int sum = 0;
for(int i=1; i<=n; i++){
cin>>v[i]>>num[i];
sum += v[i]*num[i];
}
for(int i=0; i<=sum; i++){
t1[i] = 0;
t2[i] = 0;
}
//第一个多项式
for(int i=0; i<=v[1]*num[1]; i+=v[1]){
t1[i] = 1;
}
//最高次记录
int tot = v[1]*num[1];
for(int i=2; i<=n; i++){ //逐步乘多项式
for(int j=0; j<=tot; j++){ //累积多项式
for(int k=0; k<=v[i]*num[i]; k+=v[i]){ //当前多项式
t2[j+k] += t1[j];
}
}
//重新布局
tot += v[i]*num[i];
for(int i=0; i<=tot; i++){
t1[i] = t2[i];//存到中间结果
t2[i] = 0;
}
}
int half = (tot+1) / 2;
for(int i=half; i<=tot; i++){
if(t1[i] != 0){
cout<<i<<" "<<sum-i<<endl;
break;
}
}
}
return 0;
}
HDU 1709 放砝码
-
题意：给定几种重量的砝码，每种砝码只有一个，砝码可以放在天平左右两边，问不能称出来的重量有哪些？
-
思路：分两种情况讨论，放在一边，放在两边，只要进行加减就可以了，减的时候取绝对值。
#include<iostream> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; const int maxn = 1e4+100; const int N = 110; int t1[maxn];//中间结果存放系数 int t2[maxn];//中间结果 存放 int ans[maxn]; int n,m; int w[N]; int main(){ ios::sync_with_stdio(false); while(cin>>n){ int sum = 0; for(int i=1; i<=n; i++){ cin>>w[i]; sum += w[i]; } for(int i=0; i<=sum; i++){ t1[i] = t2[i] = 0; } t1[0] = t1[w[1]] = 1; for(int i=2; i<=n; i++){ //第i个多项式 枚举第i个砝码的情况 for(int j=0; j<=sum; j++){ //前一个中间结果 //for(int k=0; k<=w[i]; k++){ //两个砝码放在一边 t2[j] += t1[j];//k=0 t2[j+w[i]] += t1[j];//k=w[i] //两个砝码分别放在两边 t2[abs(j-w[i])] += t1[j]; // } } for(int j=0; j<=sum; j++){ t1[j] = t2[j]; t2[j] = 0; } } int cnt = 0; for(int i=1; i<=sum; i++){ if(t1[i] == 0) ans[cnt++] = i; } cout<<cnt<<endl; if(cnt != 0){ cout<<ans[0]; for(int i=1; i<cnt; i++) cout<<" "<<ans[i]; cout<<endl; } } return 0; }
HDU 2096
-
题意：有几种硬币，可以使用最多100枚硬币组成价值N，问有多少种组成方案
-
思路1：二维母函数，第一维代表价值，第二维代表用去的硬币数量，初始化t[0][0] = 1
-
思路2：用动态规划做，dp[i][j]表示组成价值i用了j枚硬币，显然这个状态可以由dp[v][j-1]再加上一枚(i-v)的硬币转移过来
#include<iostream> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; const int maxn = 1e3+100; const int N = 110; int t1[maxn][105];//中间结果存放系数 int t2[maxn][105];//中间结果 存放 int n,m; //母函数做法 int a[5] = {1, 5, 10, 25, 50}; int main(){ memset(t1 , 0, sizeof t1); memset(t2 , 0, sizeof t2); t1[0][0] = 1;//预设一个硬币0的多项式 只含有1 for(int i=0; i<5; i++){ //处理剩下的硬币的多项式 for(int j=0; j<251; j++){ //中间结果 for(int k=0; k+j<251; k+=a[i]){ //枚举当前硬币多项式 for(int l=0; l+k/a[i]<=100; l++){ //枚举之前已经用了的硬币数量 当前不能超过100 t2[j+k][l+k/a[i]] += t1[j][l]; } } } for(int j=0; j<251; j++){ for(int k=0; k<=100; k++){ t1[j][k] = t2[j][k]; t2[j][k] = 0; } } } while(cin>>n){ int ans = 0; for(int i=0; i<=100; i++) ans += t1[n][i]; cout<<ans<<endl; } } // DP做法 //int a[5] = {1, 5, 10, 25, 50}; //int dp[maxn][105]; //int main(){ // ios::sync_with_stdio(false); // while(cin>>n){ // memset(dp , 0, sizeof dp); // dp[0][0] = 1; // for(int i=0; i<5; i++){ // for(int j=1; j<=100; j++){ // for(int k=a[i]; k<=n; k++){ // dp[k][j] += dp[k-a[i]][j-1]; // } // } // } // int ans = 0; // for(int i=0; i<=100; i++) ans += dp[n][i]; // cout<<ans<<endl; // } // return 0; //}
指数型母函数
- 定义：从多重集M = {∞a1 , ∞a2, ∞a3, ... , ∞an}中选出K个元素的K-排列中，若限定元素ai出现的次数集合为Mi，则该组合数序列的母函数为：x^m/m!，m∈Mi的所有方法之和再连乘。
HDU 1521
-
题意：从n种物品中选取一共m个物品，问一共有多少种排列数？
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; typedef long long ll; double fac[15]; int n,m; int num[15]; double t1[15],t2[15]; void init(){ fac[0] = 1; for(int i=1; i<=12; i++){ fac[i] = fac[i-1] * i; } } int main(){ init(); while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF){ for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &num[i]); memset(t1 , 0 , sizeof t1); memset(t2 , 0 , sizeof t2); for(int i=0; i<=num[1]; i++) t1[i] = 1/fac[i]; for(int i=2; i<=n; i++){ //剩余n-1个多项式 for(int j=0; j<=m; j++){ //中间结果多项式枚举项 for(int k=0; k<=num[i]&&j+k<=m; k++){ //当前多项式枚举项 t2[j+k] += t1[j]/fac[k]; } } for(int j=0; j<=m; j++){ t1[j] = t2[j]; t2[j] = 0; } } printf("%.0f\n",t1[m]*fac[m]); } }
HDU 2065
-
题意：用ABCD四个字符组成长度为N的字符串，其中AC只能不出现或者出现偶数次，问有多少种组法
-
思路：指数型母函数加泰勒公式合并加重新展开
#include<iostream> using namespace std; typedef long long ll; ll qpow(ll a, ll n, ll mod){ ll ans = 1; while(n){ if(n & 1) ans = (ans * a) % mod; n >>= 1; a = (a * a) % mod ; } return ans; } int main(){ ll n,t; int cas = 1; while(cin >> t){ if(t == 0) break; while(t--){ cin>>n; ll ans = ( qpow(4 , n-1, 100LL) + qpow(2 , n-1, 100LL) ) % 100; cout<<"Case "<<cas++<<": "<<ans<<endl; } cas = 1; cout<<endl; } }
