CRB and Candies LCM 性质

• 题目 CRB and Candies
• 题意

\[ \text{给定正整数N，求} LCM \lbrace C \left(N , 0 \right),C\left(N , 1 \right),...,C\left(N , N \right) \rbrace \% mod \qquad 1\leq N \leq 10^6 \]

• 题解

  • 根据规律推出公式，另外关于这个公式的证明

    \[ LCM \lbrace C \left(N , 0 \right),C\left(N , 1 \right),...,C\left(N , N \right) \rbrace \quad = \quad \frac{LCM(1,2,3...,N+1)}{N+1} \]

  • 由于数据规模较大，除法取模可以化为求乘以N+1在模mod意义下的逆元再取模，问题就转化为了如何求连续自然数的LCM

  • 由唯一分解定理可知LCM算法：

  \[ X_1 = P_1^{e_1}*P_2^{e_2}*...*P_k^{e_k} \quad \\ X_2 = P_1^{e_1'}*P_2^{e_2'}*...*P_k^{e_k'} \quad \\ \text{$k$ $\to$ ∞ $\quad$ $P_i$ is a prime number} \\ \text{}\\ LCM(X_1,X2) = P_1^{max(e_1,e_1')} * P_2^{max(e_2,e_2')} *...* P_k^{max(e_k,e_k')} \]
  • 不妨设LCM[i]表示从1到i的lcm，则LCM[i+1]与LCM[i]的关系为

\[LCM \left[ i\right] = \begin{cases} LCM[i-1]*i\%mod, & \text{if $i$ is a prime number, because a new prime come in} \\[2ex] LCM[i-1]*x\%mod, & \text{if $n$ is a POWER of prime number x, because $P_x$ get a high power }\\[2ex] LCM[i-1], & \text{oherwise} \end{cases} \]

• AC代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
const ll mod = 1e9+7;
ll LCM[maxn];
bool isPrime[maxn];//isPrime[i]表示i是不是质数
int prime[maxn];//prime[i]表示i是哪个质数的k次幂 如果不是某个质数的k次幂就置0
void init(){
    for(int i=1; i<maxn; i++) isPrime[i] = 1, prime[i] = 0;
    isPrime[1] = 0;
    //素数普通筛 只需要筛到根号N即可
    for(int i=2; i*i<maxn; i++){
        if(isPrime[i]){
            ///cout<<i<<" ";
            for(int j=i*i; j<maxn; j *= i){
                prime[j] = i;//j 是 质数i的幂次
            }
            //筛素数
            for(int j=i+i; j<maxn; j += i){
                isPrime[j] = 0;
            }
        }
    }
}
//LCM[i]表示(1 , 2 , 3 ......, i)的lcm
void getLCM(){
    LCM[1] = 1;
    for(int i=2; i<maxn; i++){
        //如果是一个新质数
        if(isPrime[i]) LCM[i] = LCM[i-1] * i % mod;
        //如果不是质数 验证是不是一个质数的幂次
        //如果是 那么说明遇到了一个质因子更高的幂次  那么要多乘一个这个质因子
        else if(prime[i]) LCM[i] = LCM[i-1] * prime[i] % mod;
        else LCM[i] = LCM[i-1];
    }

}
//扩展欧几里得求逆元
void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
    if(!b){ d=a; x=1; y=0;}
    else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}
//返回a在模n意义下的逆元
ll inverse(ll a,ll n){
    ll d,x,y;
    extgcd(a,n,d,x,y);
    return d==1?(x+n)%n:-1;
}

int main(){
    int t;
    ll n;
    init();
    getLCM();
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n;
        ll ans = LCM[n+1] * inverse(n+1 , mod) % mod;
        cout<<ans<<endl;
        
    }
    return 0;
}