noip级别数论？

TAT快noip了才开始去接触数论（真心不敢学。。）这里做一下整理吧（都是些定义之类的东西= =）

欧几里德：gcd(a,b)=gcd(b,a%b);具体证明见百科？

扩展欧几里德:

　　求a*x+b*y=gcd(a,b);

　　因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)即gcd(b,a-a/b*b);

　　所以可以递归求解：

　　　　递归到b=0时显然gcd为a，x=1,y=0;

　　　　已知b*x'+(a-a/b*b)*y'=gcd(b,a-b/b*b)=gcd(a,b)=a*x+b*y;

　　　　b*x'+(a-a/b*b)*y' = a*y'+b*(x'-a/b*y');

　　　　所以x=y';y=x'-a/b*y';

　　然后解显然不只一个。。设我们一开始求出来的解为x0，y0

　　x = x0 + b/Gcd(a, b) * k
  　 y = y0 -  a/Gcd(a, b) * k（k为任意整数）（代入一下就知道正确性了。。）

　　有的时候（似乎很多时候？）gcd(a,b)=1.....

 

　　各种低级应用：

　　不定方程向：

　　　　求x,y，使a*x+b*y=c;（只有c为gcd(a,b)的倍数时才有解）

　　　　解就是a*x+b*y=gcd(a,b)的每个解乘上c/gcd(a,b)。。或者说是a/gcd(a,b)*x+b/gcd(a,b)=1的每个解乘上c

　　 解模线性方程（最基本的同余方程）ax ≡ b(mod p)

 　　　　因为a*x mod p实际就是a*x-a*x/p*p..所以等价于解不定方程 a*x+p*y=b

　　乘法逆元向：
　　　　满足b*k≡1 (mod p)的k值就是b关于p的乘法逆元。
　　　　应用：
　　　　　　求（a/b） mod p的值时，a过大等等感人情况（比如求模意义下较大的组合数或者卡特兰数或者是奇怪的数学题？）
　　　　　　求b关于p的乘法逆元k，(a*k) mod p的结果与(a/b) mod p等价
　　　　证明：

　　　　　　已求出b*k≡1(mod p);
　　　　　　即b*k=p*x+1;

　　　　　　所以k=(p*x+1)/b;
　　　　　　a*k=a/b*(p*x+1)
　　　　　　(a*k) mod p

　　　　　  =(a/b*(p*x+1))mod p
　　　　　  =(a/b*p*x+a/b)mod p
　　　　　  =(a/b)mod p

　　　　求逆元：

 

　　　　　　a*k≡1(mod p)即a*k=p*x+1
　　　　　　相当于解不定方程a*k-p*x=1(a,p已知)

 

素数线性筛：

　　万年大坑现在才来填QAQ。。虽然以前用埃氏筛法似乎姿势好可以混过去？

　　埃氏筛法的缺点是合数可能会被多次筛到（取决于它有多少个质因数）

　　现在对于每个数i，

　　1、若i为素数，枚举不大于i的素数j，则i*j为合数（此时不可能有重复）
　　2、 i为合数，则设i=p1^a1*p1*a2*p3^a3。。。。（整数分解）
　　枚举所有小于或等于p1的素数j，i*j为合数
　　不会重复计算是因为每个数都是被它的最小质因数筛到的

欧拉函数线性筛：
　　设a为n的某个质因数，
　　1、若n/a整除a,则phi(n)=phi(n/a)*a（每个与n/a互质的数也与a互质）
　　2、 若n/a不整除a，则phi(n)=phi(n/a)*（a-1）（因为a是素数，phi(a)=a-1,gcd(a,n/a)=1,由欧拉函数的积性phi(n)=phi(n/a)*phi(a)......）

 

 

 感觉今年noip考数论的话我就得直接退役了QAQ

UPD:2333今年没数论。。然而还是不会写的题还是不会TAT