省选测试13

省选测试 13

T1

​

​ 给定一个\(n*m\)大小的网格, 每个格子里可以填\('('\)或\(')'\). 某一行或某一列可以形成一个合法的括号序列.问最大有多少行和多少列是合法的括号序列.

​ \(n,m\leq 5000\).

​ 分情况构造就好了. (我当时竟然一直在想二分图....)

​ 首先如果\(n, m\)有奇数, 那么行或列一定不能构成合法的括号序列.

​ 如果都是偶数就判断一下这三种方法哪一种更优就好了 :

​ \(n + m/2 - 4\) :

((()))
()()()
((()))
()()()
((()))
()()()
// 每一行都合法, 列最多合法的数量

​ \(n / 2 + m - 1\) : 与上一种同理.

​ \(n + m - 4\) :

((((((
()()()
)()()(
()()()
)()()(
))))))
// 只有第一行, 第一列, 最后一行, 最后一列不合法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 505;
int n, m, num;

void Work1() {
    for(int i = 1;i <= n; i++, puts("")) 
        for(int j = 1;j <= m; j++) cout << "(";
}

void Work2() {
    for(int i = 1;i <= n; i++, puts("")) {
        for(int j = 1;j <= m / 2; j++) cout << "(";
        for(int j = 1;j <= m / 2; j++) cout << ")";
    } 
}

void Work3() {
    for(int i = 1;i <= n / 2; i++, puts("")) 
        for(int j = 1;j <= m; j++) cout << "(";
    for(int i = 1;i <= n / 2; i++, puts("")) 
        for(int j = 1;j <= m; j++) cout << ")";
}

void Work4() {
    if(n / 2 + m - 1 > n + m - 4 || n + m / 2 - 1 > n + m - 4) {
        // cout << n / 2 + m - 1 << " " << n + m / 2 - 1 << "\n";
        if(m / 2 + n - 1 > n + m - 4 && m / 2 + n - 1 >= n / 2 + m - 1) {
	        for(int i = 1;i <= n / 2; i++, puts("")) {
	            for(int j = 1;j <= m / 2; j++) cout << "(";
	            for(int j = 1;j <= m / 2; j++) cout << ")";
	        } 
	        for(int i = 1;i <= n / 2; i++, puts("")) 
	            for(int j = 1;j <= m; j++) if(j & 1) cout << "("; else cout << ")";
	    	}
    	else {
    		for(int i = 1;i <= m; i++) cout << "("; cout << "\n";
            for(int i = 2;i < n; i++, puts("")) {
                if(i & 1) {
                    for(int i = 1;i <= m / 2; i++) cout << ")"; 
                    for(int i = 1;i <= m / 2; i++) cout << "(";
                }
                else {
                    for(int i = 1;i <= m / 2; i++) cout << "("; 
                    for(int i = 1;i <= m / 2; i++) cout << ")"; 
                }
            }
            for(int i = 1;i <= m; i++) cout << ")"; cout << "\n";
		}
	}
    else { 
        // cout << n + m - 4 << "\n";
        for(int i = 1;i <= m; i++) cout << "("; cout << "\n";
        for(int i = 2;i < n; i++, puts("")) {
            if(i & 1) {
                cout << "(";
                for(int j = 2;j < m; j++) if(j & 1) cout << ")"; else cout << "(";
                cout << ")";
            }
            else {
                for(int j = 1;j <= m; j++) if(j & 1) cout << "("; else cout << ")";
            }
        }
        for(int i = 1;i <= m; i++) cout << ")";
    }

}

int main() {

    freopen("butterfly.in","r",stdin); freopen("butterfly.out","w",stdout);

    scanf("%d %d", &n, &m);
    if((n & 1) && (m & 1)) Work1();
    else if(n & 1) Work2();
    else if(m & 1) Work3();
    else Work4();

    fclose(stdin); fclose(stdout);

    return 0;
}

/*
2 2
*/

/*
2 3
*/

T2

​ 给定一个\(n\)个点, \(m\)条边的无向联通图. \(maxflow(x,y)\)代表以\(x\)为源点, \(y\)为汇点的最大流.如果说所有的边权为1, 那么所有的\(maxflow(x,y)\leq 2\), 可是边权为\(c_i\)(hhhhhha). 给定p, 求\(\sum_{s=1}^n\sum_{t=1}^{n} maxflow(s,t)*p^{(s-1)n+t}\)对998244353取模的值.

​ \(n \leq 300000, m \leq 500000\)

​ 生成树, 并查集.

​ 因为任意两点的最大流不超过2, 所以可以判断整个图是一个仙人掌.

​ 啥是仙人掌呢? 就是一个连通图, 图上的任意一条边都只被包含于一个环内.

​ 证明 : 假如说图上友谊条边被包含在两个环内, 就像下图一样, 那么他们两个点之间最大流一定大于2.那么就与题目条件不符了.

​

​ (好丑.....)

​ 如果这道题给的是一棵树就好做了, 我们直接把边从大到小排序, 然后并查集维护一下就行了. 但问题是它是仙人掌而不是树.

​ 那我们把它转化成树不就好了. 我们找到每一个环内的最小值(因为这条边一定是对最大流有贡献的). 我们把它删掉, 然后让这个环上的其它边都加上这个边的权值, 整个最大流不变.

​ 所以我们成功的把它转化成了树上问题, 然后就好做了.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline long long read() {
    long long s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

const int N = 3e5 + 5, M = 6e5, mod = 998244353, inf = 1e9;
int n, m, p, cnt, ans;
int fa[N], val[M], dep[N], vis[M], val2[N], head[N], pow_p[N], f[N][21];
struct edge { int to, nxt, val; } e[N << 1];
struct Edge { int x, y, val; } E[M], L[N];

int ksm(int x, int y) {
    int res = 1;
    while(y) { if(y & 1) res = 1ll * res * x % mod; x = 1ll * x * x % mod; y >>= 1; }
    return res;
}

void make_pre() {
    pow_p[0] = 1;
    for(int i = 1;i < N; i++) pow_p[i] = 1ll * pow_p[i - 1] * p % mod;
}

void add(int x, int y, int z) {
    e[++ cnt].nxt = head[x]; head[x] = cnt; e[cnt].to = y; e[cnt].val = z;
}

int cmp(Edge x, Edge y) {
    return x.val > y.val;
}

int find(int x) {
    return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}

void get_f(int x, int Fa) {
    f[x][0] = Fa; dep[x] = dep[Fa] + 1;
    for(int i = 1;i <= 20; i++) f[x][i] = f[f[x][i - 1]][i - 1];
    for(int i = head[x]; i ; i = e[i].nxt) if(e[i].to != Fa) get_f(e[i].to, x);
}

int LCA(int x, int y) {
    if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
    for(int i = 20;i >= 0; i--) if(dep[x] - dep[y] >= (1 << i)) x = f[x][i];
    if(x == y) return x;
    for(int i = 20;i >= 0; i--) if(f[x][i] != f[y][i]) x = f[x][i], y = f[y][i];
    return f[x][0];
}

void Kruskal() {
    sort(E + 1, E + m + 1, cmp);
    for(int i = 1;i <= n; i++) fa[i] = i;
    for(int i = 1;i <= m; i++) {
        int x = find(E[i].x), y = find(E[i].y);
        if(x == y) continue ;
        fa[x] = y; vis[i] = 1; 
        add(E[i].x, E[i].y, E[i].val); add(E[i].y, E[i].x, E[i].val);
    }
    get_f(1, 0);
    for(int i = 1;i <= m; i++) {
        if(vis[i]) continue ;
        int x = E[i].x, y = E[i].y, val = E[i].val;
        int lca = LCA(x, y);
        while(x != lca) {
            int tmp = f[x][0];
            for(int ii = head[tmp]; ii ; ii = e[ii].nxt) 
                if(e[ii].to == x) { e[ii].val += val; e[ii ^ 1].val += val; break; }
            x = tmp; 
        }
        while(y != lca) {
            int tmp = f[y][0];
            for(int ii = head[tmp]; ii ; ii = e[ii].nxt) 
                if(e[ii].to == y) { e[ii].val += val; e[ii ^ 1].val += val; break; }
            y = tmp;
        }
    }
}

void get_tree(int x, int Fa) {
    for(int i = head[x]; i ; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to; if(y == Fa) continue ;
        ++ cnt; L[cnt].x = x; L[cnt].y = y; L[cnt].val = e[i].val;
        get_tree(y, x);
    }
}

int main() {

    freopen("sakura.in","r",stdin); freopen("sakura.out","w",stdout);

    n = read(); m = read(); p = read();
    cnt = 1;
    for(int i = 1;i <= m; i++) {
        E[i].x = read(); E[i].y = read(); E[i].val = read();
    }
    make_pre();
    Kruskal();
    // cout << "!!!!!!\n";
    cnt = 0;
    get_tree(1, 0);
    sort(L + 1, L + cnt + 1, cmp);
    for(int i = 1;i <= n; i++) fa[i] = i, val[i] = pow_p[i], val2[i] = ksm(pow_p[i], n);
    for(int i = 1;i <= cnt; i++) {
        int x = find(L[i].x), y = find(L[i].y);
        // cout << x << " " << y << " " << L[i].val << " " << val[x] << " " << val[y] << "\n";
        ans = (ans + 1ll * L[i].val * val2[x] % mod * val[y] % mod) % mod;
        ans = (ans + 1ll * L[i].val * val2[y] % mod * val[x] % mod) % mod;
        fa[x] = y; val[y] = (val[y] + val[x]) % mod; val2[y] = (val2[y] + val2[x]) % mod;
    }
    // cout << pow_p[n] << " " << ksm(pow_p[n], mod - 2) << "\n";
    ans = 1ll * ans * ksm(pow_p[n], mod - 2) % mod;
    printf("%d\n", ans);

    fclose(stdin); fclose(stdout);

    return 0;
}

/*
3 3 1
1 2 5
2 3 6
3 1 5

5 12 1
1 2 5
2 3 6
3 1 5
1 4 1
1 5 1
4 5 2
5 6 1
6 7 1
5 7 1
3 6 1
6 8 1
3 8 1
*/

T3

​ 神仙题, 不可做......

T4 ??

​ 就是今天下午第一次打了一次完整的CF嘛, 感觉自己好菜....

​ A,B题很轻松就过了, 然后去看C题.

​ 想了一会就搞出来了, 乱搞的不知道为啥对. 机房大佬说这是个鸽笼原理, 说我的程序在数据小的时候会错. 果然考后被Hack了....

​ 最后半个小时去做的D题, 但是没做出来, 考后才知道用exgcd合并啥的可以做, 感觉也不难, 但就是没想出来.

​ 总之第一次打CF成绩并不好, 只有两个最简单的题的分(第三题被Hack了减分了qwq).

​ 但是还是了解了不少的, 比如怎么Hack, 为什么先做后边的题(因为那样得的分高, 时间越长得到的分就越少).QWQ