概率总结
概率
前置知识
随机试验
1.不可预知结果;
2.可以预知结果的范围;
3.可以在相同条件下重复进行.
样本空间
随机试验所有结果组成的集合.
事件
样本空间的一个子集.
必然事件 : 样本空间的全集.
不可能事件 : 样本空间的空集.
事件的关系和运算
包含 : \(A \subset B\)
相等 : 就是相等.
互斥 : \(A \cap B = \emptyset\) 是否成立.
补 : 就是补集.
和 : $ A \cup B$
差 : \(A - A \cap B\)
积 : \(A \cap B\)
事件的运算律
交换律 : \(A \cup B = B \cup A\)
结合律 : \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\)
分配率 : \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\) \(A \cap (B\cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
对偶律 : \(\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) $ \overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
概率
为样本空间的每一个事件定义一个实数，这个实数称为概率。事件𝐵的概率称为𝑃[𝐵]。
概率的一些性质
1.\(P(\emptyset) = 0\)
2.\(0 <= P(A) <= 1\)
3.\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)
4. 如果$A_1, A_2,...$是两两互不相容的事件, 那么 $P(A_1 \cup \ A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) +...
5. $P(B - A) = P(B) - P(AB)$
条件概率
已知\(B\)事件发生了, 那么\(A\)事件发生的概率为\(P(A\mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\).
\(P(AB) = P(A\mid B)P(B)\)
条件概率的性质
1.\(P(\emptyset \mid A) = 0\)
2.如果\(B_1, B_2, ...\)两两互不相容, 则\(P((B_1 \mid A) \cup (B_2\mid A) \cup ...) = P(B_1\mid A) + P(B_2 \mid A) + ...\)
3.\(P(\overline{B} \mid A) = 1 - P(B \mid A)\)
4.\(P((A \cup B) \mid C) = P(A \mid C) + P(B \mid C) - P(AB \mid C)\)
贝叶斯公式
设\(B_1, B_2, ..., B_n\)是样本空间的划分(\(B_1\cup B_2 \cup ... = A\), \(B_i \cap B_j = \emptyset\))
则有 : \(P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i)P(B_i)}{\sum P(A\mid B_j) P(B_j)}\)
推式子 :
\(P(B_iA) = P(AB_i) = P(A \mid B_i)P(B_i)\).
\(P(A) = \sum P(AB_j) = \sum P(A\mid B_j) P(B_j)\) (因为\(B_1, B_2, ..., B_n\)是样本空间的划分)
所以 \(P(B_i \mid A) = \frac{P(B_iA)}{P(A)} = \frac{P(A \mid B_i)P(B_i)}{\sum P(A\mid B_j) P(B_j)}\)
独立事件
\(P(B\mid A) = P(B)\), 则\(A, B\)为独立事件
question
question 1
箱子里有3个1和1个2, 每次取出一个数不放回, 事件\(A\) : 第一次取到1, 事件\(B\) : 第二次取到1, 求\(P(A\mid B)\).
\(P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{4} * \frac{2}{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}\)
question 2
假设有三张形状相同的卡片, 其中一张两面都是黑色, 一张两面都是红色, 一张一面红色一面黑色, 随机取出一张放在桌上, 红色朝上, 那么另一面是黑色的概率是多少.
设事件\(B\)为红色朝上, 事件\(A\)为黑色朝下, 那么本题就是求 \(P(A \mid B)\).
\(P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} * \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{1}{3}\)
question 3
\(n\)个人按任意顺序依次抓阄, 每个人抓完后立即打开, 当某个人抓到"中"时, 整个抓阄过程结束, 问这种抓阄方法是否公平.
公平.
第一个人抓到中的概率 : \(\frac{1}{n}\)
第二个人抓到中的概率 : \(\frac{n - 1}{n} * \frac{1}{n - 1} = \frac{1}{n}\)
以此类推, 每个人抓到中的概率都是\(\frac{1}{n}\).
question 4
一个人左右口袋各放一盒火柴, 每盒\(n\)支, 每次用一支, 由于习惯原因, 选右口袋的概率\(P > \frac{1}{2}\), 问下列两种情况的概率是否相等.
-
到某次发现取出的这一盒已经空了, 此时另一盒恰好有\(m\)支火柴.
-
到他用完某盒是另一盒恰有\(m\)支火柴.
概率不相等.
这两种情况差别在于, 第一种情况发现了这一盒已经空了, 第二种情况是还未发现空.
设都是右口袋空了,
第一种情况右口袋取火柴次数为\(n + 1\), 左口袋次数为\(n - m\), 所以概率为\(P^{n + 1} * P^{n - m} * C_{2n - m}^{n}\),
第二种情况右口袋取火柴次数为\(n\), 左口袋次数为\(n - m\), 所以概率为\(P^{n} * P^{n - m} * C_{2n - m - 1}^{n - 1}\),
question 5
小胡站在原点，手里拿着两枚硬币。抛第一枚硬币正面向上的概率为𝑞，第二枚正面向上的概率为𝑟。
小胡开始抛第一枚硬币，每次抛到反面小胡就向x轴正方向走一步，直到抛到正面。接下来小胡继续抛第一枚硬币，每次抛到反面小胡就向y轴正方向走一步，直到抛到正面。
现在小胡想回来了，于是他开始抛第二枚硬币，如果小胡抛到正面小胡就向x轴的负方向走一步，否则小胡就向y轴的负方向走一步。
现在小胡想知道他在往回走的时候经过原点的概率是多少呢？
设走到的点是\((x,y)\), 那么走过去的概率应该是这个, \((1 - q) ^x * q * (1 - q)^y * q = (1 - q)^{x +y} * q ^ 2\).再走回来的概率应该是\(r ^ x * (1 - r)^ y * C_{x + y}^{x}\)
然后我们可以列出 : $ \displaystyle \sum_{x = 0}^{\infty} \sum_{y = 0}^{\infty} (1 - q)^{x + y} * q ^ 2 * r^x * (1 - r) ^ y * C_{x + y} ^ {x}$
令\(t = x +y\), $\displaystyle \sum_{t = 0}^{\infty}\sum_{x = 0}^{t} (1 - q)^{t} *q^2 * r^x * (1 - r) ^ {t - x} * C_t^x = \displaystyle \sum_{t = 0}^{\infty}(1 - q)^{t} *q^2 \sum_{x = 0}^{t} C_t^x * r^x * (1 - r) ^ {t - x} $
根据二项式定理, \((x + y) ^ k = \displaystyle \sum_{i = 0} ^ {k} C_k^i * x ^ i * y ^ {k - i}\), 所以\(\displaystyle \sum_{x = 0}^{t} C_t^x * r^x * (1 - r) ^ {t - x} = (r +1 - r) ^ t = 1\)
所以原式就是 : \(\displaystyle \sum_{t = 0}^{\infty}(1 - q)^{t} *q^2 = p\)
为啥捏? 令\(f = (1 - q) ^ 0 * q ^ 2 + (1 - q)^1*q ^ 2 + (1 - q) ^ 2 * q ^ 2 + ...\)
则 \((1 - q) * f = (1 - q) ^ 1 * q ^ 2 + (1 - q) ^ 2 * q ^ 2 + (1 - q) ^ 3 * q ^ 2 + ...\)
两式相减得 \((1 - 1 + q) * f = (1 - q) ^ 0 * q ^ 2\), 所以 \(f = q\)
