hiho1715 树的连通问题 动态开点线段树 + 线段树合并

hiho1715 树的连通问题

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​ 线段树 + 动态开点 + 线段树合并。

​ 暴力\(O(n^2)\)。不可做。

​ 我们考虑问题转化，求每一条边的贡献，也就是有多少区间跨过这一条边。

​ 这么写不好写，正难则反，我们求这个问题的对偶问题，总区间数\(-\)有多少区间没有跨过这一条边。

​ 我们设当前点\(x\)的父亲为\(fa\)，出现在\(x\)这颗子树里的点标为1，没有出现的标为0。\(fa\)也这么标记。

​ 总区间数很好算，\(n * (n + 1) / 2\)，有多少区间没跨过这一条边就是这颗子树同为1的对数和同为0的对数。

​ 我们对每个节点搞一颗线段树，得用动态开点，\(lmax1,rmax1,lmax0, rmax0\)代表某一个区间紧靠左端\(1\)的个数，紧靠右端1的个数，紧靠左端0的个数，紧靠右端0的个数。\(sum0, sum1\)代表这个区间同为0的对数，同为1的对数。

#include <bits/stdc++.h>

#define mid ((l + r) >> 1)

using namespace std;

inline long long read() {
    long long s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

const int N = 1e5 + 5;
int n, cnt, tot;
long long ans;
int rt[N], head[N];
struct edge { int to, nxt; } e[N << 1];
struct tree { 
    int lc, rc;
    int lmax1, rmax1, lmax0, rmax0;
    long long sum0, sum1;
} t[N << 4];

void add(int x, int y) {
    e[++cnt].nxt = head[x]; head[x] = cnt; e[cnt].to = y; 
}

long long calc(int x) {
    return 1ll * (x + 1) * x / 2;
}

void modify(int o, int l, int r) {
    t[o].sum0 = calc(r - l + 1);
    t[o].lmax0 = t[o].rmax0 = r - l + 1;
} 

void up(int o, int l, int r) {
    if(!t[o].lc) modify(t[o].lc, l, mid);
    if(!t[o].rc) modify(t[o].rc, mid + 1, r);
    t[o].sum0 = t[t[o].lc].sum0 + t[t[o].rc].sum0 + 1ll * t[t[o].lc].rmax0 * t[t[o].rc].lmax0;
    t[o].sum1 = t[t[o].lc].sum1 + t[t[o].rc].sum1 + 1ll * t[t[o].lc].rmax1 * t[t[o].rc].lmax1;
    t[o].lmax0 = t[t[o].lc].lmax0 == mid - l + 1 ? t[t[o].lc].lmax0 + t[t[o].rc].lmax0 : t[t[o].lc].lmax0;
    t[o].lmax1 = t[t[o].lc].lmax1 == mid - l + 1 ? t[t[o].lc].lmax1 + t[t[o].rc].lmax1 : t[t[o].lc].lmax1;
    t[o].rmax0 = t[t[o].rc].rmax0 == r - mid ? t[t[o].rc].rmax0 + t[t[o].lc].rmax0 : t[t[o].rc].rmax0;
    t[o].rmax1 = t[t[o].rc].rmax1 == r - mid ? t[t[o].rc].rmax1 + t[t[o].lc].rmax1 : t[t[o].rc].rmax1;
}

void insert(int &o, int l, int r, int x) {
    if(!o) o = ++tot;
    if(l == r) { t[o].lmax1 = t[o].rmax1 = t[o].sum1 = 1; return ; }
    if(x <= mid) insert(t[o].lc, l, mid, x);
    if(x > mid) insert(t[o].rc, mid + 1, r, x);
    up(o, l, r);
}

int merge(int x, int y, int l, int r) {
    if(!x || !y) return x + y;
    if(l == r) return t[x].sum1 ? x : y;
    t[x].lc = merge(t[x].lc, t[y].lc, l, mid);
    t[x].rc = merge(t[x].rc, t[y].rc, mid + 1, r);
    up(x, l, r);
    return x;
}

void dfs(int x, int fa) {
    for(int i = head[x]; i ; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to; if(y == fa) continue;
        dfs(y, x);
        rt[x] = merge(rt[x], rt[y], 1, n);
    }
    insert(rt[x], 1, n, x);
    if(x != 1) ans += calc(n) - t[rt[x]].sum0 - t[rt[x]].sum1;
}

int main() {

    n = read(); 
    for(int i = 1, x, y;i <= n - 1; i++) 
        x = read(), y = read(), add(x, y), add(y, x);
    dfs(1, 0);
    printf("%lld", ans);

    return 0;
}