二维ST表

二维ST表。

​ 二维ST表咋写捏？

​ \(f[x][y][k][l]\)表示左上角为\((x, y)\)，右下角为\((x + 2^{k} -1 , y+2^l - 1)\)的矩形内的最值是多少。

​ 转移的话和原来差不多，首先可以将矩形从中间横着劈一刀：

​ \(f[x][y][k][l] = max/min(f[x][y][k - 1][l], f[x + 2 ^ {k - 1}][y][k - 1][l])\)；

​ 然后还可以将矩形从中间竖着劈一刀：

​ \(f[x][y][k][l] = max/min(f[x][y][k][l - 1], f[x][y + 2^{l - 1}][k][l - 1])\)；

​ 同样的，还是可以实现\(O(1)\)查询，假设现在要查询左上角为\((x1, y1)\)，右下角为\((x2 , y2)\)的矩形内的最值是多少。

​ 设\(p = lg[x2 - x1 + 1], q = lg[y2 - y1 + 1]\)

​

​ 如图我们可以把查询的大矩形分为四个小矩形，他们的坐标分别是:
\((x1, y1, x1 + 2^p - 1, y1 + 2^q - 1)\),
\((x1, y2 - 2 ^ q + 1, x2 - 2^p + 1, y2)\),
\((x2 - 2 ^ p + 1, y1, x2, y2 - 2^q + 1)\),
\((x2 - 2^p + 1, y2 - 2^k + 1, x2, y2)\)。
分别对应图上的\(w1,w2,w3,w4\)。对这四个小矩形的最值取\(max/min\)，就是大矩形的最值了。

P2216 [HAOI2007]理想的正方形

​ 这道题可用二维ST表做。

​ 题目链接

​ 对于这道题直接开\(f[1005][1005][11][11]\)是会爆空间的，但是我们发现题目要求的是正方形，其实就可以省去第三，四维；直接维护每个正方形的值就好了。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline long long read() {
    long long s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

const int N = 1005, inf = 2e9;
int n, m, k, ans;
int lg[N], f[N][N], g[N][N];

int main() {

    n = read(); m = read(); k = read();
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        for(int j = 1;j <= m; j++) f[i][j] = g[i][j] = read();

    
    lg[0] = -1;
    for(int i = 1;i <= k; i++) lg[i] = lg[i >> 1] + 1;

    for(int s = 1;s <= lg[k]; s++) 
        for(int i = 1;i + (1 << s) - 1 <= n; i++)
            for(int j = 1;j + (1 << s) - 1 <= m; j++) {
                f[i][j] = max(max(f[i][j], f[i][j + (1 << (s - 1))]), max(f[i + (1 << (s - 1))][j], f[i + (1 << (s - 1))][j + (1 << (s - 1))]));
                g[i][j] = min(min(g[i][j], g[i][j + (1 << (s - 1))]), min(g[i + (1 << (s - 1))][j], g[i + (1 << (s - 1))][j + (1 << (s - 1))]));
            }

    ans = inf;
    for(int i = 1;i + k - 1 <= n; i++)
        for(int j = 1;j + k - 1 <= m; j++) {
            int x = i + k - 1, y = j + k - 1; 
            int maxn = max(max(f[i][j], f[x - (1 << lg[k]) + 1][j]), max(f[i][y - (1 << lg[k]) + 1], f[x - (1 << lg[k]) + 1][y - (1 << lg[k]) + 1]));
            int minn = min(min(g[i][j], g[x - (1 << lg[k]) + 1][j]), min(g[i][y - (1 << lg[k]) + 1], g[x - (1 << lg[k]) + 1][y - (1 << lg[k]) + 1]));
            ans = min(ans, maxn - minn);
        }
    
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}