P4719 【模板】"动态 DP"&动态树分治

题目描述

给定一棵 n 个点的树，点带点权。

有 m 次操作，每次操作给定 x,y，表示修改点 x 的权值为 y。

你需要在每次操作之后求出这棵树的最大权独立集的权值大小。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示结点个数 n 和操作个数 m。

第二行有 n 个整数，第 i 个整数表示节点 iii 的权值 ai。

接下来 (n−1) 行，每行两个整数 u,v，表示存在一条连接 u 与 v 的边。

接下来 m 行，每行两个整数 x,y，表示一次操作，修改点 x 的权值为 y。

输出格式

对于每次操作，输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1

10 10
-11 80 -99 -76 56 38 92 -51 -34 47 
2 1
3 1
4 3
5 2
6 2
7 1
8 2
9 4
10 7
9 -44
2 -17
2 98
7 -58
8 48
3 99
8 -61
9 76
9 14
10 93

输出 #1

186
186
190
145
189
288
244
320
258
304

说明/提示

数据规模与约定

• 对于 100%1 的数据，保证 1≤n,m≤\(10^5\)，1≤u,v,x≤n，\(-10^2 \leq a_i, y \leq 10^2\)。

动态DP板子题。

我们首先可以推出DP方程：\(dpi,0=∑max(dpj,0,dpj,1)\)

​ \(dp_{i, 1} = \sum_{j} dp_{j, 0} + a_i\)

对于每一次修改，我们要\(O(n)\)的改一条链，很不妙，所以用树链剖分，\(O(logn)\)的修改一条链。

我们用\(f_{i, 0/1}\)表示以\(i\)为根的这颗树内，轻儿子的ans。

所以DP方程还可以写成：\(dp_{i, 0} = f_{j, 0} + max(dp_{son, 1}, dp_{son, 0})\)

​ \(dp_{i, 1} = f_{i, 1} + dp_{son, 0}\)

这里\(son\)是轻儿子。

这样我们就可以直接维护转移矩阵，修改一条链了。

转移矩阵：

\[\left[ \begin{array}{} f[x][0] & f[x][0]\\ f[x][1] & -\infty\\ \end{array} \right] * \left[ \begin{array}{} dp[son][0]\\ dp[son][1]\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{} dp[x][0]\\ dp[x][1]\\ \end{array} \right] \]

修改一下矩阵乘法规则，把加法改为取\(max\)

#include <bits/stdc++.h>

#define ls(o) (o << 1)
#define rs(o) (o << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)

using namespace std;

inline long long read() {
    long long s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

const int N = 1e5 + 5, inf = 1e9;
int n, m, cnt, tot;
int fa[N], id[N], val[N], end[N], dfn[N], top[N], siz[N], hav[N], head[N];
int f[N][2], dp[N][2];
struct edge { int to, nxt; } e[N << 1];
struct mat { 
    long long v[2][2]; 
    mat() {
        for(int i = 0;i <= 1; i++) 
            for(int j = 0;j <= 1; j++) 
                v[i][j] = -inf;
    }
} t[N << 2], nod[N];

mat operator * (const mat &a, const mat &b) {
    mat c;
    for(int i = 0;i <= 1; i++) 
        for(int j = 0;j <= 1; j++) 
            for(int k = 0;k <= 1; k++) 
                c.v[i][j] = max(c.v[i][j], a.v[i][k] + b.v[k][j]);
    return c;
}

void add(int x, int y) {
    e[++cnt].nxt = head[x]; head[x] = cnt; e[cnt].to = y;
}

void get_tree(int x, int Fa) {
    siz[x] = 1; fa[x] = Fa;
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to; if(y == Fa) continue;
        get_tree(y, x);
        siz[x] += siz[y];
        if(siz[y] > siz[hav[x]]) hav[x] = y;
    }
}

void get_top(int x, int topic) {
    dfn[x] = ++tot; id[tot] = x; top[x] = topic;
    if(hav[x] == 0) { end[topic] = tot; return ; }
    get_top(hav[x], topic);
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to; if(y == fa[x] || y == hav[x]) continue;
        get_top(y, y);
    }
}

void dfs(int x) {
    dp[x][1] = f[x][1] = val[x];
    for(int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to; if(y == fa[x]) continue;
        dfs(y);
        dp[x][0] += max(dp[y][0], dp[y][1]);
        dp[x][1] += dp[y][0];
        if(y != hav[x]) {
            f[x][0] += max(dp[y][0], dp[y][1]);
            f[x][1] += dp[y][0];
        }
    }
}

void up(int o) {
    t[o] = t[ls(o)] * t[rs(o)];
}

void build(int o, int l, int r) {
    if(l == r) {
        int x = id[l];
        t[o].v[0][0] = t[o].v[0][1] = f[x][0];
        t[o].v[1][0] = f[x][1];
        nod[l] = t[o];
        return ;
    }
    build(ls(o), l, mid); build(rs(o), mid + 1, r);
    up(o);
}

void change(int o, int l, int r, int x) {
    if(l == r) { t[o] = nod[l]; return ; }
    if(x <= mid) change(ls(o), l, mid, x);
    if(x > mid) change(rs(o), mid + 1, r, x);
    up(o);
}

mat get_ans(int o, int l, int r, int x, int y) {
    if(x <= l && y >= r) return t[o];
    if(y <= mid) return get_ans(ls(o), l, mid, x, y);
    if(x > mid) return get_ans(rs(o), mid + 1, r, x, y);
    return get_ans(ls(o), l, mid, x, y) * get_ans(rs(o), mid + 1, r, x, y);  
}

void update_tree(int x, int y) {
    nod[dfn[x]].v[1][0] += y - val[x];
    val[x] = y;
    while(x) {
        mat Old, New; 
        int a = x;
        x = top[x];
        Old = get_ans(1, 1, n, dfn[x], end[x]);
        change(1, 1, n, dfn[a]);
        New = get_ans(1, 1, n, dfn[x], end[x]);
        int tmp = dfn[fa[x]];
        nod[tmp].v[0][0] = nod[tmp].v[0][1] += max(New.v[0][0], New.v[1][0]) - max(Old.v[0][0], Old.v[1][0]);
        nod[tmp].v[1][0] += New.v[0][0] - 0Old.v[0][0];
        x = fa[x];
    }
}

int main() {

    n = read(); m = read();
    for(int i = 1;i <= n; i++) val[i] = read();
    for(int i = 1, x, y;i <= n - 1; i++) {
        x = read(); y = read();
        add(x, y); add(y, x);
    }

    get_tree(1, 0); get_top(1, 1); 
    dfs(1); build(1, 1, n);

    for(int i = 1, x, y;i <= m; i++) {
        x = read(); y = read();
        update_tree(x, y);
        mat ans = get_ans(1, 1, n, dfn[1], end[1]);
        printf("%lld\n", max(ans.v[0][0], ans.v[1][0]));
    }

    return 0;
}