P2679 子串

题目描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。

现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串，然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等？

注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

输入格式

第一行是三个正整数 n,m,k，分别表示字符串 A 的长度，字符串 B 的长度，以及问题描述中所提到的 k，每两个整数之间用一个空格隔开。

第二行包含一个长度为 n 的字符串，表示字符串 A。

第三行包含一个长度为 m 的字符串，表示字符串 B。

输出格式

一个整数，表示所求方案数。

由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对 1000000007 取模的结果。

输入输出样例

输入 #1

6 3 1 
aabaab 
aab

输出 #1

2

输入 #2

6 3 2 
aabaab 
aab

输出 #2

7

输入 #3

6 3 3 
aabaab 
aab

输出 #3

7

​ 尝试了两种方DP法，一种是课件上的，没调出来；一种是题解里的。

​ 一道经典的匹配DP，用\(f[i][j][k]\)表示从A中前i个字符取出k个不重复子串，与B中前j个字符相同的方案数。

\[f(i,j,k)=\\f(i−1,j,k) Ai\neq Bj \\f(i−1,j,k)+f(i−1,j−1,k−1) Ai=Bj,A_{i−1}\neq B_{j−1} \\f(i−1,j,k)+f(i−1,j−1,k−1)+f(i−2,j−2,k−1)Ai=Bj,A_{i−1}=B_{j−1},A_{i−2}\neq B_{j−2} \]

设p满足：

\(\forall x\in[0,p], A_{i-x}=B_{j-x}\)

\(A_{i-p-1}\neq B_{j-p-1}\)

则有：

\(f(i,j,k)=\begin{cases}f(i-1,j,k)&,A_i\neq B_j\\ f(i-1,j,k)+\sum\limits^{p+1}_{t=1}f(i-t,j-t,k-1)&,A_i=B_j\end{cases}\)

#include<iostream>

using namespace std;

long long f[201][201], sum[201][201], n, m, ki;
char a[1001], b[201];

int main(){

    cin >> n >> m >> ki >> a >> b;
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= n; i++)
      for(int j = m;j >= 1; j--)
        for(int k = ki;k >= 1; k--)
              f[j][k] = (f[j][k] + (sum[j][k] = a[i - 1] == b[j - 1] ? sum[j - 1][k] + f[j - 1][k - 1] : 0)) % 1000000007;
    cout << f[m][ki];

    return 0;
}