计数问题

计数问题

第一类斯特林数

​ 有\(n\)个不同的球，把它们方到\(m\)个盒子里，每个盒子里的球连成一个环，问有多少种不同的方案。

​ \(f[n][m] = f[n - 1][m - 1] + f[n - 1][m] * (n - 1)\) ： 第\(n\)个球单独成一个环 + 第\(n\)个球与别的球挤一个盒子，这个球可以插到\(n - 1\)个空里。

第二类斯特林数

​ 有\(m\)个相同的盒子和\(n\)个不同的球，问有多少种不同的方案。

​ \(f[m][n] = f[m - 1][n - 1] + f[m][n - 1] * m\) ： 第\(n\)个球单独放一个盒子 + 第\(n\)个球与别的球挤一个盒子，这个球可以放到\(m\)个盒子里。

​ 如果这\(m\)个盒子不相同，那么再乘一个\(m!\)就好了。

组合数

​ \(C_{n}^{m}\)表示从\(n\)个数里面取\(m\)个数有多少种方案。 直接上式子：

\[C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m} + C_{n - 1}^{m - 1} \\ C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m} \\ \displaystyle \sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} = 2^n \\ C_{n + r + 1}^{r} = C_{n + r}^{r} + C_{n + r - 1}^{r - 1}+...+C_{n}^{0} \\ C_{n}^{l} * C_{l}^{r} = C_{n}^{r}*C_{n - r}^{l - r} \\ C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C{n}^{2}-...=0 \\ C_{r}^{r} + C_{r + 1}^{r} + ... + C_{n}^{r} = C_{n + 1}^{r + 1} \\ (1 + x)^n = \displaystyle \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}*x^{n - k} = \displaystyle \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k} * x^k \]

环形染色

​ 有\(n\)个球连成的一个环，有\(m\)种颜色，相邻的两个球不能同色，问有多少种不同的方案。

​ ​\(f[n] = f[n - 2] * (m - 1) + f[n - 1] * (m - 2)\) ： 第\(n - 1\)个格子与第一个格子颜色相同 + 第\(n - 1\)个格子与第一个格子颜色不同。

​ 第\(n - 1\)个格子与第一个格子颜色相同时，\(f[n - 1]\)不符合题意，只能从\(f[n - 2]\)转移过来。

​ 第\(n - 1\)个格子与第一个格子颜色不同时，第\(n\)个球为了不和第1个球和第\(n - 1\)个球同色，只有\(m - 2\)种颜色。

不相邻染色

​ 给你一个长度为\(n\)的格子，里面可以放黑球或白球，两个黑球不能相邻，问有多少种情况。

​ 我们用二维数组\(f[i][1]\)表示第\(i\)个格子放白球的情况有多少种，\(f[i][0]\)表示第\(i\)个格子放黑球的情况有多少种。

​ \(f[n][1] = f[n - 1][1] +f[n - 1][0]\) ： 如果第\(n\)个格子放白球，那么第\(n - 1\)个格子放黑球或者白球都可以；

​ \(f[n][0] = f[n - 1][1]\) ： 如果第\(n\)个格子放黑球，那么第\(n - 1\)个格子必须放白球。

\[\left[ \begin{matrix} f[i][0] \\ f[i][1] \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1\\ 1 & 1\\ \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} f[i - 1][0]\\ f[i - 1][1]\\ \end{matrix} \right] \]

卡特兰数

\[C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n - 1} = \frac{C_{2n}^{n}}{n+1} \]

​

与\(Catalan\)数有关的：

​ 1.\(n\)个左括号和\(n\)个右括号组成的合法括号序列的数量为\(Cat_n\)。

​ 2.1，2，……，n经过一个栈，合法的出栈序列的数量为\(Cat_n\)。

​ 3.\(n\)个节点构成的不同的二叉树的数量为\(Cat_n\)。

​ 4.在平面直角坐标系上，每一步只能向上或向右走，从(0, 0)走到(n, n)并且除了两个端点外不接触直线\(y = x\)的路线数量为\(2*Cat_{n-1}\)。

前15个卡特兰数：1，2，5，14，42，132，429，1430，4862，16796，58786，208012，742900，2674440。