Codeforces 1369F. BareLee 题解

Codeforces 1369F. BareLee

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题意

一盘博弈由若干小游戏组成。

每局小游戏包含两个正整数\(s,e(s <= e)\),每次操作可以将\(s\)变成\(2s\)或\(s+1\)，第一个把\(s\)变成大于\(e\)的人输。

每局游戏的输者在下一轮执先手，博弈的胜利由最后一盘小游戏的胜利决定，问你在第一局执先手的情况下，能否有必胜/必败策略。

我们先考虑小游戏的胜负：

令\(win(e,s)\)表示能否先手获胜。

如果\(e\)是奇数且\(s\)是奇数，那么先手必败，偶数反之。

证明如下：考虑最后的必败的状态一定有\(s = e\)时，此时无论怎么操作都会\(s\)大于\(e\)。

无论先手怎么操作，后手都进行\(+1\)操作，发现先手操作时,\(s\)永远是奇数，因为\(e\)是奇数，所以先手必败。

如果\(e\)是偶数，当\(e/2 < s <= e\)时，只能执行\(+1\)操作，所以\(win(e,s) = (e-s)\mod{2}\)。

当\(e/4 < s <= e/2\)时，先手必胜。

证明如下：先手进行一次\(*2\)操作，此时答案为\(!win(e,2s) (e/2 < 2s <= e)\),此时就变回到上一种情况，因为\(2s,e\)都是偶数，所以\(win(e,2s) = 0\)。

当\(s <= e/4\)时，答案为\(win(e/4,s)\)。原因是先操作使得\(e/4 < s <= e/2\)的人必输。

令\(lose(e,s)\)表示能否先手失败。

如果\(2s > e\)，显然一次\(*2\)操作就可以输掉。

否则\(lose(e,s) = win(e/2,s)\),证明显然。

求出每一局小游戏后，可以倒着逆推求解，复杂度\(O(n+logV)\),\(V\)是值域。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 1000015
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n;i>=a;i--)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define lowbit(i) ((i)&(-i))
#define VI vector<int>
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define SZ(x) ((int)x.size())
using namespace std;
int win(int e,int s){
	if(s == e) return 0;
	if(s+1 == e) return 1;
	if(e&1) return !(s&1);
	if(s <= e/4) return win(e/4,s);
	if(s <= e/2) return 1;
	return (e-s)&1;
}
int lose(int e,int s){
	if((s<<1) > e) return 1;
	return win(e/2,s);
}
int n,a,b,w[N],l[N];
signed main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);
	rep(i,1,n) {
		scanf("%lld%lld",&a,&b);
		w[i] = win(b,a); l[i] = lose(b,a);
	}
	a = w[n];
	per(i,1,n-1){
		if(a) {if(!l[i]) a ^= 1;}
		else if(w[i]) a ^= 1;
	}
	printf("%lld ",a);
	a = l[n];
	per(i,1,n-1){
		if(a){if(!l[i]) a ^= 1;}
		else if(w[i]) a ^= 1;
	}
	printf("%lld\n",a);
	return 0;
}