数论篇6——欧拉函数

欧拉函数

记作$\varphi (n)$，表示小于等于n的数中与n互质的数的数目。（根据定义，phi(1)=1）

通式

$$\varphi(x)=x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_{i}})$$其中$p_{i}$为$x$的所有质因数。

举个例子：

比如$\varphi (12)$，把12质因数分解，$12=2\times 2\times 3$，得到了2和3两个质因数，然后把2的倍数和3的倍数都删掉

2的倍数：$2,4,6,8,10,12$

3的倍数：$3,6,9,12$

如果直接用$12 - 12/2 - 12/3$，那么6和12就重复减了，所以还要把即是2的倍数又是3的倍数的数加回来，所以这样写$12 - \frac{12}{2} - \frac{12}{3} + \frac{12}{2\times 3}$

然后变形一下

$$\varphi (12)   =   12\times (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6})= 12\times (1 - \frac{1}{2})\times (1 - \frac{1}{3}) $$

其实就是容斥原理，可以得到求解公式$$\varphi (n)=n\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})\times ...\times(1-\frac{1}{p_n})$$即$$\varphi(x)=x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_{i}})$$其中$p_{1}......p_{n}$为n的素因子。

基本性质

（1）规定，$\varphi(1)=1$

（2）当$p$为质数，$\varphi(p^{k})=p^{k}-p^{k-1}$

（3）当$p$为质数，有$\varphi(p)=p-1$

（4）欧拉函数是积性函数，也就是若$m$和$n$互质，则$\varphi(m\times n)=\varphi(m)\times \varphi(n)$

（5）当$p$为质数，如果$i\ mod\ p=0$，那么$\varphi (i\cdot p)=\varphi(i)\cdot p$ 

证明：

根据$\varphi(x)=x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_{i}})$，因为p是i的因子，所以$$\varphi(x\cdot p)=p\cdot x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_{i}})=\varphi(x)\times p$$

（6）当$p$为质数，如果$i\ mod\ p\neq 0$，那么$\varphi (i\cdot p)=\varphi(i)\cdot (p-1)$ 

求解方法

直接求

使用通式直接求

//欧拉函数
int phi(int x) {
    int ans = x;
    for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
        if (x % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);//先做除法，防止溢出
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) ans = ans / x * (x - 1);
    return ans;
}

复杂度是$O(\sqrt {n})$，如果要你求n个数的欧拉函数，复杂度是$O(n\sqrt {n})$，太慢了。

打表

埃氏筛思想

const int N = 100000 + 5;
int phi[N];
void getPhi() {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++) {
        if (!phi[i]) {
            for (int j = i; j < N; j += i) {
                if (!phi[j]) 
                    phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
            }
        }
    }
}

 时间复杂度和埃氏筛一样，是$O(n\cdot loglogn)$，基本上满足要求了。

线性筛法（欧拉筛思想）

借助欧拉函数的性质 的这两条性质，我们还可以继续优化一下，能够做到复杂度$O(n)$

如果p是质数

（1）如果$i\ mod\ p=0$，那么$\varphi (i\cdot p)=\varphi(i)\cdot p$

（2）如果$i\ mod\ p\neq 0$，那么$\varphi (i\cdot p)=\varphi(i)\cdot (p-1)$（这条不用证明）

const int N = 100000 + 5;
int phi[N], prime[N], cnt = 0;
void Euler() {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++) {
        if (!phi[i]) {
            phi[i] = i - 1;
            prime[cnt++] = i;
        }
        for (int j = 0; j < cnt && i * prime[j] < N; j++) {
            if (i % prime[j])
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            else {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}

公式拓展

求$a^{b}\%p$

公式1：a，p互质，$a^{b}mod\ p=a^{b\% \varphi (p)}mod\ p$

根据 $a^{\varphi(p)} \equiv 1(mod\ p)$ （欧拉定理）

令 $$b\% \varphi (p)=t$$

则 $$b=k\cdot \varphi(p)+t\ (k=0,1,2,3...)$$

根据$$a^{\varphi(p)} \equiv 1(mod\ p)，a^{k\cdot \varphi(p) }mod\ p=(a^{\varphi(p)}mod\ p)^k=1$$

有$$a^{b}mod\ p=a^{k\cdot \varphi(p)+t}mod\ p=(a^{k\cdot \varphi(p)}mod\ p)*a^{t}mod\ p)mod\ p=a^{t}mod\ p$$

所以

$$a^{b}mod\ p=a^{b\% \varphi (p)}mod\ p$$

公式2：a，p不互质，$a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\pmod p$

原理：

扩展欧拉定理

先挖个坑，过两天再填。