高次剩余

有关x^a = b (%p)  p为质数  的问题

首先求解可以 用 原根+BSGS  转换  成 g^(x'a) = g ^ b'  ,即 x' * a = b'   (% p-1 )

然后可以判无解  或 判多解 (多解是循环的， 解的个数是 gcd(p-1,a)， 每(p-1)/gcd(p-1,a) 一个解）

 

【二次剩余】

a²=b(%p)

(a²)^(p-1)/2=b^(p-1)/2=1

所以：b^(p-1)/2=1  （欧拉判别法）是非零数b为p的二次剩余的充要条件。  若b为0要特判

 

下面的做法 用于无解时 扩域来运算  或者 是 用更小的复杂度来代替上面的BSGS：

random出一个b使得 w=b²-a 不是二次剩余。即 w^(p-1)/2=-1。   因为[1,p)中的x的(p-1)/2次方  一半是1 一半是-1。 所以很快就能rand出来

则x=(b+sqrt(w))^(p+1)/2为方程的一个解。

　　证明： {

　　　　　　(b+sqrt(w))^p = b^p+w^p/2       （二项式展开后，C(p,i)%p!=0  当前仅当i=0或p ）

              　　    = b+w^(p-1)/2*sqrt(w)  =b-sqrt(w)

　　　　　　  所以  x²=(b+sqrt(w))^p+1=(b-sqrt(w))*(b+sqrt(w)) =b²-w =a。 

　　　　　　}

定义一个二元组进行之后的运算即可。