数论

【逆元】： 若 a*b=1(%p) 则a是b在%p意义下的逆元。  则在%p意义下  一个数 除以a就等价于乘b

　两种求逆元方法：1、若p为质数时，则有性质则a^(p-1)=1(%p) 。   即a*a^(p-2)=1(%p)。   所以a的逆元就是a^(p-2)

　　　　　　　　　  2、exgcd(a,b,x,y) 可求 ax+by=c=gcd(a,b)  若a,b互质 则可求a%b下的逆元 （可以证明，扩展欧几里得 的运算过程 x,y不会超过max(a,b)）

 

威尔逊定理： 当且仅当p为质数时，有  (p-1)! ≡ p-1 ≡ -1 (%p)

因为 1~ p-1  中，除了  1和p-1 ， 其余的都能两两配对、互为逆元。

 

【欧拉定理】

　　对于互质的整数x,p，x^φ(p) ≡ 1 (%p)

【广义欧拉定理】

　　对于任意整数x,p， 若n>=φ(p)  ，则 xⁿ ≡ x^{n%φ(p)+φ(p)}  (%p)。

　　对比普通欧拉定理，如x=3，p=6，  3⁰=1,  3¹ = 3² = 3³ = ... = 3

 

【Lucas定理】：{

　　求C(n,m)在%p下的值    (p是质数)    —— Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

　　为什么要求 p是质数？  因为Lucas证明中 要用到  (1+a)^p=(1+a^p)(%p)这个p为质数才有的性质   因为x^p=x(%p)

 }

实际上 求大组合数 真正用的是 求 n!%p  复杂度 是跟p的质因数分解有关的  p=ai^bi(1<=i<=k)  则复杂度应该是 ai^bi 的最大值

 

 写了个模板贴这 。。虽然我不怎么用模板。。但是求大组合数是真心麻烦。。

 

 

【中国剩余定理（孙子定理）】{

　　给出以下的一元线性同余方程组：

　　

　　假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

　　设

　　　  ——  M

是整数m1,m2, ... ,mn的乘积

　　       ——  Mi是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。

　　　    (在%mi下)

　　则同余方程组 的通解形式为

　　 　　 

　　那么在模M的意义下，方程组只有一个解：

　　

}

 

 

【BSGS & exBSGS】

　求a^x = b (%p) 　　gcd(a,p)=1

　考虑分块，设S=sqrt(p),

　　　a^(kS-t) = b

　然后预处理　b* a^t  ，再暴枚k，求得x

 

　exBSGS： 针对  gcd(a,p)≠1

　　a^x = b (%p)

　　a * a^(x-1) =b (%p)

　[d = gcd(a,p)]

　　(a/d) * a^(x-1) = (b/d) ( %(p/d) )

　　然后递归子问题