随机做题-第二弹

书接上回。

QOJ 4635 Graph Operation

构造题先观察：

每次操作后，每个点的度数 $deg_u$ 不变。
操作是可逆的。这意味着可以同时操作 $S,T$，最后相遇在某个状态。

我们声称每个点在 $S$ 和 $T$ 中度数相同是有解的充要条件。

构造方法考虑枚举 $i=1,2,\dots,n$，设 $i$ 在 $S$ 中的邻域为 $A$，在 $T$ 中的为 $B$。

若 $A=B$，直接把 $i$ 从图上删去。
若 $A \neq B$，由于 $|A|=|B|$，此时一定能找到 $u \in A,u \notin B, v \notin A,v \in B$。

我们现在有两种选择：
- 找到一个点 $w$ 使得 $w$ 在 $S$ 中与 $v$ 有边，与 $u$ 无边，然后操作 $(i,u),(v,w)$。
- 找到一个点 $w$ 使得 $w$ 在 $T$ 中与 $u$ 有边，与 $v$ 无边，然后操作 $(i,v),(u,w)$。
不难发现，如果找不到第一种 $w$，则一定有 $deg_v<deg_u$；如果找不到第二种 $w$，则有 $deg_u<deg_v$。

所以两种 $w$ 必定能找到一种。

用 bitset 模拟上述过程，复杂度 $O(\frac{n^3}{w})$。

模拟赛题

暴力的做法是每次 ban 掉一条边然后跑费用流。

这样复杂度太高了，考虑优化。我们先随便跑出一个最大权匹配，假设当前边为 $e=(u,v)$。

若 $e$ 在不在当前匹配内。直接输出。
若 $e$ 在当前匹配内。考虑删去 $e$ 后还可以怎么增广。

也就是连接 $(S,T),(T,S)$，然后在残量网络上找到一条从 $u$ 到 $v$ 的路径增广。

要找到尽可能长的路径，跑 spfa 即可。

QOJ2266 Colorful Rectangle

首先，所有情况一定能够通过置换颜色和旋转对称归约到下面两种情况。

$0$ 在左上角，$1$ 在下边，$2$ 在右边，贡献为 $2(x_2-x_0+y_0-y_1)$。
$0$ 在左上角，$1$ 在中间，$2$ 在右下角，贡献为 $2(x_2-x_0+y_0-y_2)$。

现在要解决一个类似三维偏序的问题，先按 $x$ 扫描线。

先解决第一种情况，考虑维护线段树，每遇到一个 $0$ 就做前缀修改，遇到 $1$ 就做后缀修改，遇到 $2$ 就做单点查询。

然而我们需要保证所有 $01$ 贡献对的 $0$ 一定在 $1$ 之前，这个用类似历史最大值的思想做。

第二种情况严格弱于第一种。随便做做。

P6790 [SNOI2020] 生成树

广义串并联图。

定义：称图 $G$ 为广义串并联图，当且仅当 $G$ 不存在同胚与 $K_4$ 的子图。

人话：不存在四个点 $a,b,c,d$ 使得这四点之间存在 $6$ 条除了端点以外两两不交的路径。

广义串并联图有两个性质：

$m \le 2n$ 时，图是平面图。
通过重复三种操作可以缩为一个点。
- “删 $1$ 度点”，删除度数为 $1$ 的点。
- “缩 $2$ 度点”，若存在边 $(u,v),(v,w)$，则删除 $v$ ，连接 $(u,w)$。
- “叠合重边”，把两条重边变成一条。

回到这题，原图是广义串并联图，考虑按上面的过程，对边进行 dp，计算生成树。

缩边过程中每条边 $e(u,v)$ 都代表了原图的一个子图，记为 $T(e)$。$T(e)$ 里出现在最终的生成树的部分为 $T'(e)$。

设 $f_e$ 表示 $T'(e)$ 是一个连通块的方案数，$g_e$ 表示 $T'(e)$ 是两个连通块（一个包含 $u$ 一个包含 $v$ ）的方案数。

转移分三种。

“删 $1$ 度点”，此时 $T'(e)$ 只能是一个连通块，$ans \larr ans \times f_e$。
”缩 $2$ 度点“，此时 $f_{e'}=f_{e1}f_{e2},g_{e'}=f_{e1}g_{e2}+g_{e1}f_{e2}$。
"叠合重边"，此时 $f_{e'}=f_{e1}g_{e2}+g_{e1}f_{e2},g_{e'}=g_{e1}g_{e2}$。

注意上面转移是围绕”选出来的部分联通且无环“进行的。

用队列维护 $deg \le 2$ 的点，模拟上述过程。

QOJ9278 Linear Algebra Intensifies

接上文。

注意到矩阵差分后行列式相等。

于是每次操作可以变成 $b_{l,l},b_{r+1,r+1}$ 加一，$b_{l,r+1},b_{r+1,l}$ 减一。

我们把 $b$ 看作矩阵树定理中的 Laplace 矩阵。每次操作相当于连边 $(l,r+1)$，答案是图 $G$ 的生成树个数。

我们套用上一题的做法，对 $G$ 在缩边的时候 dp。

由于 $G$ 不一定是广义串并联图，所以最后会剩下一个图 $G'$。

现在问题变成，每条边选有 $f_e$ 的权值，不选有 $g_e$ 的权值，求 $G'$ 每个生成树的权值和。

把每条边的权重设为 $\frac{f_e}{g_e}$，套用矩阵树定理，把行列式 $\times \prod g_e$ 得到答案。注意特判 $g_e=0$ 的情况！！！

记 $G'=(V',E'),|V'|=n',|E'|=m'$，求行列式是 $O(n'^3)$ 的，为什么能过呢？

考虑 $n'$ 的规模，不难发现进行一次缩边操作后 $k=m-n$ 的值不增。

而 $G'$ 中每个点的 $deg>2$，也就是 $m'=\frac{\sum deg'_u}{2} \ge \frac{3}{2}n'$。得到 $n' \le 2k \le 600$。