为什么以a为底，n的对数（以b为底）为指数的幂等于以n为底，a的对数（以b 为底）为指数的幂？

合集 - 算法设计与分析笔记(2)

1.幂函数与指数函数区别2024-09-11

2.为什么以a为底，n的对数（以b为底）为指数的幂等于以n为底，a的对数（以b 为底）为指数的幂？2024-09-11

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这个问题涉及对数和指数的性质。我们可以用数学公式来清晰地表达和证明这一等式。

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法一：

首先，我们有：

$$a^{\log_b(n)}$$

我们想证明这等于：

$$n^{\log_b(a)}$$

证明如下：

1. 定义对数：

   $$\log_b(n) = x$$

   意味着

   $$b^x = n$$

2. 应用对数定义：

   由定义，我们有

   $$a^{\log_b(n)} = a^{x}$$

   和

   $$n^{\log_b(a)} = n^{y}$$

   其中

   $$y = \log_b(a)$$

3. 变换指数表达式：

   由于

   $$b^x = n$$

   和

   $$b^y = a$$

   ，我们可以将原式改写为：

   $$a^{\log_b(n)} = (b^y)^{x} = b^{xy}$$

   同样地，

   $$n^{\log_b(a)} = (b^x)^{y} = b^{xy}$$

4. 证明等价性：

   因为

   $$b^{xy} = b^{xy}$$

   ，所以：

   $$a^{\log_b(n)} = n^{\log_b(a)}$$

通过上述步骤，我们证明了以a为底，指数为

$$\log_b(n)$$

确实等于以n为底，指数为

$$\log_b(a)$$

。

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法二：

两边取以b为底取对数，可以看到两边式子一样，只不过是以一个交换的形式。