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Noip模拟题 Matrix [递推,组合数]

Matrix

时间限制: 1 Sec  内存限制: 512 MB

题目描述

小 z 的女朋友送给小 z 一个 n × n 的矩阵。但是矩阵实在太大了,小 z 的女朋友拿不动,只能带给他两个长度为 n 的整数序列 l, t ,分别作为矩阵 F 的第一行和第一列(保证 l1 = t1 ),并且告诉小 z 矩阵可以通过如下方式得到:
Fi,j = a · Fi,j−1 + b · Fi−1,j
现在小 z 猜到了系数 a,b ,他想要计算 Fn,n 模 109 + 7 的值

 

输入

第一行三个整数 n, a, b.
第二行 n 个数表示 l.
第三行 n 个数表示 t

 

输出

一行一个整数表示答案    

 

样例输入

  1. 4 3 5
  2. 4 1 7 3
  3. 4 7 4 8

 

样例输出

  1. 59716

 

提示

对于前 40% 的数据,n ≤ 5000;
对于另外 20% 的数据,a = 0;
对于 100% 的数据,n, a, v, li, ti ≤ 105

  分析:

   大力推公式。

  反正就从给定的公式下手,可以推出$f[n][n]$与$f[1][1\thicksim n]$和$f[1\thicksim n][1]$的关系,当然很显然需要用到组合。

  实际上,$f[n][n]$只由$f[1][1\thicksim n]$和$f[1\thicksim n][1]$中的元素得到,并且从$f[1][1\thicksim n]$和$f[1\thicksim n][1]$的任一元素转移到$f[n][n]$的转移方式都是唯一的,这里推导过程就不再写了,直接写出结论:

$f[n][n]=\sum^n_{i=1}(f[1][i]*a^{n-1}*b^{n-i}*C^{n*2-i-2}_{n-2})+\sum^n_{i=1}(f[i][1]*a^{n-i}*b^{n-1}*C^{n*2-i-2}_{n-2})$

  Code:

 

复制代码
  1. //It is made by HolseLee on 25th Oct 2018
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstring>
  4. #include<iostream>
  5. #include<algorithm>
  6. #define mod (1000000007)
  7. using namespace std;
  8. typedef long long ll;
  9. const ll N=2e5+7;
  10. ll n,tot,A,B,x[N],y[N],a[N],b[N],aa[N],bb[N],ans;
  11. inline ll read()
  12. {
  13. char ch=getchar(); ll num=0; bool flag=false;
  14. while( ch<'0' || ch>'9' ) {
  15. if( ch=='-' ) flag=true; ch=getchar();
  16. }
  17. while( ch>='0' && ch<='9' ) {
  18. num=num*10+ch-'0'; ch=getchar();
  19. }
  20. return flag ? -num : num;
  21. }
  22. void ready()
  23. {
  24. tot=(n-2)<<1;
  25. a[0]=a[1]=b[0]=b[1]=1; aa[0]=bb[0]=1, aa[1]=A, bb[1]=B;
  26. for(ll i=2; i<=tot; ++i) b[i]=b[i-1]*i%mod;
  27. for(ll i=2; i<=tot; ++i) a[i]=(mod-mod/i)*a[mod%i]%mod;
  28. for(ll i=2; i<=tot; ++i) a[i]=a[i]*a[i-1]%mod;
  29. for(ll i=2; i<=n; ++i) aa[i]=aa[i-1]*A%mod;
  30. for(ll i=2; i<=n; ++i) bb[i]=bb[i-1]*B%mod;
  31. }
  32. inline ll getx(ll i)
  33. {
  34. ll ret=x[i]*aa[n-1]%mod*bb[n-i]%mod;
  35. ret=ret*b[tot-i+2]%mod*a[tot-n-i+4]%mod*a[n-2]%mod;
  36. return ret;
  37. }
  38. inline ll gety(ll i)
  39. {
  40. ll ret=y[i]*bb[n-1]%mod*aa[n-i]%mod;
  41. ret=ret*b[tot-i+2]%mod*a[tot-n-i+4]%mod*a[n-2]%mod;
  42. return ret;
  43. }
  44. int main()
  45. {
  46. n=read(); A=read(), B=read();
  47. ready();
  48. for(ll i=1; i<=n; ++i) x[i]=read();
  49. for(ll i=1; i<=n; ++i) y[i]=read();
  50. for(ll i=2; i<=n; ++i) {
  51. ans=(ans+getx(i))%mod;
  52. }
  53. for(ll i=2; i<=n; ++i) {
  54. ans=(ans+gety(i))%mod;
  55. }
  56. printf("%lld\n",ans);
  57. return 0;
  58. }
复制代码

 

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