Noip模拟题 Matrix [递推,组合数]
Matrix
时间限制: 1 Sec 内存限制: 512 MB题目描述
小 z 的女朋友送给小 z 一个 n × n 的矩阵。但是矩阵实在太大了,小 z 的女朋友拿不动,只能带给他两个长度为 n 的整数序列 l, t ,分别作为矩阵 F 的第一行和第一列(保证 l1 = t1 ),并且告诉小 z 矩阵可以通过如下方式得到:
Fi,j = a · Fi,j−1 + b · Fi−1,j
现在小 z 猜到了系数 a,b ,他想要计算 Fn,n 模 109 + 7 的值
Fi,j = a · Fi,j−1 + b · Fi−1,j
现在小 z 猜到了系数 a,b ,他想要计算 Fn,n 模 109 + 7 的值
输入
第一行三个整数 n, a, b.
第二行 n 个数表示 l.
第三行 n 个数表示 t
第二行 n 个数表示 l.
第三行 n 个数表示 t
输出
一行一个整数表示答案
样例输入
- 4 3 5
- 4 1 7 3
- 4 7 4 8
样例输出
- 59716
提示
对于前 40% 的数据,n ≤ 5000;
对于另外 20% 的数据,a = 0;
对于 100% 的数据,n, a, v, li, ti ≤ 105
对于另外 20% 的数据,a = 0;
对于 100% 的数据,n, a, v, li, ti ≤ 105
分析:
大力推公式。
反正就从给定的公式下手,可以推出$f[n][n]$与$f[1][1\thicksim n]$和$f[1\thicksim n][1]$的关系,当然很显然需要用到组合。
实际上,$f[n][n]$只由$f[1][1\thicksim n]$和$f[1\thicksim n][1]$中的元素得到,并且从$f[1][1\thicksim n]$和$f[1\thicksim n][1]$的任一元素转移到$f[n][n]$的转移方式都是唯一的,这里推导过程就不再写了,直接写出结论:
$f[n][n]=\sum^n_{i=1}(f[1][i]*a^{n-1}*b^{n-i}*C^{n*2-i-2}_{n-2})+\sum^n_{i=1}(f[i][1]*a^{n-i}*b^{n-1}*C^{n*2-i-2}_{n-2})$
Code:
- //It is made by HolseLee on 25th Oct 2018
- #include<cstdio>
- #include<cstring>
- #include<iostream>
- #include<algorithm>
- #define mod (1000000007)
- using namespace std;
- typedef long long ll;
- const ll N=2e5+7;
- ll n,tot,A,B,x[N],y[N],a[N],b[N],aa[N],bb[N],ans;
- inline ll read()
- {
- char ch=getchar(); ll num=0; bool flag=false;
- while( ch<'0' || ch>'9' ) {
- if( ch=='-' ) flag=true; ch=getchar();
- }
- while( ch>='0' && ch<='9' ) {
- num=num*10+ch-'0'; ch=getchar();
- }
- return flag ? -num : num;
- }
- void ready()
- {
- tot=(n-2)<<1;
- a[0]=a[1]=b[0]=b[1]=1; aa[0]=bb[0]=1, aa[1]=A, bb[1]=B;
- for(ll i=2; i<=tot; ++i) b[i]=b[i-1]*i%mod;
- for(ll i=2; i<=tot; ++i) a[i]=(mod-mod/i)*a[mod%i]%mod;
- for(ll i=2; i<=tot; ++i) a[i]=a[i]*a[i-1]%mod;
- for(ll i=2; i<=n; ++i) aa[i]=aa[i-1]*A%mod;
- for(ll i=2; i<=n; ++i) bb[i]=bb[i-1]*B%mod;
- }
- inline ll getx(ll i)
- {
- ll ret=x[i]*aa[n-1]%mod*bb[n-i]%mod;
- ret=ret*b[tot-i+2]%mod*a[tot-n-i+4]%mod*a[n-2]%mod;
- return ret;
- }
- inline ll gety(ll i)
- {
- ll ret=y[i]*bb[n-1]%mod*aa[n-i]%mod;
- ret=ret*b[tot-i+2]%mod*a[tot-n-i+4]%mod*a[n-2]%mod;
- return ret;
- }
- int main()
- {
- n=read(); A=read(), B=read();
- ready();
- for(ll i=1; i<=n; ++i) x[i]=read();
- for(ll i=1; i<=n; ++i) y[i]=read();
- for(ll i=2; i<=n; ++i) {
- ans=(ans+getx(i))%mod;
- }
- for(ll i=2; i<=n; ++i) {
- ans=(ans+gety(i))%mod;
- }
- printf("%lld\n",ans);
- return 0;
- }
蒟蒻写博客不易,如果有误还请大佬们提出
如需转载,请署名作者并附上原文链接,蒟蒻非常感激
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