洛谷P1403 [AHOI2005] 约数研究 [数论分块]

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约数研究

题目描述

科学家们在Samuel星球上的探险得到了丰富的能源储备，这使得空间站中大型计算机“Samuel II”的长时间运算成为了可能。由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩，小联被允许用“Samuel II”进行数学研究。

小联最近在研究和约数有关的问题，他统计每个正数N的约数的个数，并以f(N)来表示。例如12的约数有1、2、3、4、6、12。因此f(12)=6。下表给出了一些f(N)的取值：

f(n)表示n的约数个数，现在给出n，要求求出f(1)到f(n)的总和。

输入输出格式

输入格式：

 

输入一行，一个整数n

 

输出格式：

 

输出一个整数，表示总和

 

输入输出样例

输入样例#1： 

3

输出样例#1： 

5

说明

【数据范围】

20%N<=5000

100%N<=1000000

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　　分析：

　　没错，这是一道非常水的题，但也是一道非常好的数论分块入门题。

　　求$1$~$n$的约数个数的和可以转换成求包含$1$~$n$的数的个数和，所以答案就是$\sum^n_{i=1}\frac{n}{i}$。

　　但是如果数据范围再大点，比如$n\leq 10^{14}$？这就需要用到数论分块。

　　对于某几个$i$，实际上$\frac{n}{i}$的结果都是一样的，所以我们可以直接跳过这一部分，跳到某一个$j$使得$\frac{n}{j}=\frac{n}{i}+1$。这就是数论分块的基本思想。

　　Code：

　　

//It is made by HolseLee on 12th Sep 2018
//Luogu.org P1403
#include<cstdio>
int main()
{
    int n,ans=0; scanf("%d",&n);
    for(int i=1,j; i<=n; i=j+1) {
        j=n/(n/i); ans+=(n/i)*(j-i+1);
    }
    printf("%d",ans); return 0;
}