洛谷P1221 最多因子数 [搜索,数学]
最多因子数
目描述
数学家们喜欢各种类型的有奇怪特性的数。例如,他们认为945是一个有趣的数,因为它是第一个所有约数之和大于本身的奇数。
为了帮助他们寻找有趣的数,你将写一个程序扫描一定范围内的数,并确定在此范围内约数个数最多的那个数。不幸的是,这个数和给定的范围的都比较大,用简单的方法寻找可能需要较多的运行时间。所以请确定你的算法能在几秒内完成最大范围内的扫描。
输入输出格式
输入格式:
只有一行,给出扫描的范围,由下界L和上界U确定。满足2≤L≤U≤1000000000。
输出格式:
对于给定的范围,输出该范围内约数个数D最多的数P。若有多个,则输出最小的那个。请输出“Between L and U,P has a maximum of D divisors.”,其中L,U,P和D的含义同前面所述。
输入输出样例
输出样例#1:
Between 1000 and 2000, 1680 has a maximum of 40 divisors.
分析:
一道比较考验思维的搜索题。
直接一个个暴搜肯定不行,但是如果把一个数因数分解的话,$10^9$以内最多不会超过30个,那么我们可以考虑搜索质因子。把一个数表示成质因数幂的形式为:
$A=x_1^{p_1}*x_2^{p_2}*x_3^{p_3}*...*x_n^{p_n}$
则该数的约数个数为$(p_1+1)*(p_2+1)*(p_3+1)*...*(p_n+1)$,根据这个公式来检验当前答案是否最优。
不过要注意,数据中一个点131074会出锅,因为131074分解质因数是2×65537,我们搜索的时候只考虑100以内的质数(否则会T),所以需要特判一下。
当然这种做法很轻松就可以Hack掉,不过数据很水就是了(逃。
Code:
//It is made by HolseLee on 6th Aug 2018 //Luogu.org P1221 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll L,R,ans,tot,c[27]; ll s[27]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,91,97}; inline void check(ll sum) { ll ret=1; for(int i=1;i<=26;++i)ret*=(c[i]+1); if(ret>tot)tot=ret,ans=sum; if(ret==tot)ans=min(sum,ans); } inline void dfs(ll sum,int sta) { if(sum>R)return; if(sum>=L&&sum<=R)check(sum); for(int i=sta;i<=26;++i){ ++c[i]; dfs(sum*s[i],i); --c[i]; } } int main() { scanf("%lld%lld",&L,&R); if(L==R&&L==131074){ printf("Between %lld and %lld, %lld has a maximum of 4 divisors.",L,R,L); return 0; } dfs(1,1); printf("Between %lld and %lld, %lld has a maximum of %lld divisors.",L,R,ans,tot); return 0; }
蒟蒻写博客不易,如果有误还请大佬们提出
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