欧拉函数与欧拉定理相关

欧拉函数

　　对于一个正整数$x$，定义它的欧拉函数$\phi (x)$，表示$[1,x-1]$中与$x$互质的数的个数。

　　定义$p$为质数，那么可得以下定理：

　　1,$\phi (1)=1$，易证，从质数的定义中就知道1与1互质；

　　2,$\phi (p)=p-1$，这个也很容易证明，因为$p$是质数所以与任何正整数都互质；

　　3,如果$p|x$，$\phi (x*p)=\phi (x) * p$，否则$\phi (x*p)=\phi (x) * (p-1)$;额，这个蒟蒻不会证，自己百度吧（>.<）；

　　4,$\phi (p^x)= p^x-p^{x-1}$，证明：因为$p$是质数，所以在小于$p^x$的数中与它互质的数也就是不包含$p$这个质数的数，而包含$p$的数一共有$p^{x-1}$个，所以小于且与$p^x$互质的数为$p^x-p^{x-1}$个。得证。（当然，这个式子有时也写成$\phi (p^x)=p^x*(1-\frac {1}{p})$）。

　　5,设另一个质数$q$，那么$\phi (q*p)= \phi (q) * \phi (p)=(q-1)*(p-1)$，证明：因为$q,p$都是质数，所以$q*p$的因数除了1和它本身外就只有$q,p$，那么与它互质的数的个数其实就是与$q,p$互质的数的个数之积。

　　6,设$n=\prod^k_{i=1}p_i^{a_i}$为 $n$ 的素数幂乘积表达式，$\phi (n)=n*\prod^k_{i=1}(1-\frac {1}{p_i})$。证明：

　　$\phi (n)=\prod^k_{i=1}\phi (p_i^{a_i})$

　　　　　$=\prod^k_{i=1}p_i^{a_i}*(1-\frac {1}{p_i})$

　　　　　$=n*\prod^k_{i=1}(1-\frac {1}{p_i})$

 

　　了解了以上内容，那么怎么求欧拉函数呢？

　　为了求欧拉函数，就有了下面要讲的欧拉筛。

欧拉筛 

　　实际上思想和埃氏筛的优化版本有些相似，枚举一个数$x$的时候枚举比它小的质数$p$，因为$\phi (x)$和$\phi (p)$都已经求出来了，就可以用上面的定理3求出$\phi (x*p)$。

　　Code：

int top=0,k,phi[N],q[N];phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!vis[i])phi[q[++top]=i]=i-1;
        for(int j=1;j<=top&&(k=i*q[j])<N;j++){
            vis[k]=true;
            if(i%q[j])
                phi[k]=phi[i]*(q[j]-1);
            else {
                phi[k]=phi[i]*q[j];break;}
        }
    }

 　　不过实际上有时候我们只需要用几个数的欧拉函数，而且可能范围还很大，这时候用线性筛就太不划算了，这里可以用上面的定理6直接求解任意一个数的欧拉函数。

　　Code：

inline int euler(int x)
{
  int ret=x;
  for(int i=2;i*i<=x;i++){
    if(x%i==0){
      ret=ret/i*(i-1);
      while(x%i==0)x/=i;
    }
  }
  if(x>1)ret=ret/x*(x-1);
  return ret;
}

　　两种求法各有优缺点，根据具体需要选择使用。

欧拉定理与扩展欧拉定理

　　欧拉定理：对于互质的整数$a,n$，有$a^{\phi (n)}\equiv 1\pmod n$；

　　证明：

　　1，若$n$为质数，那么$\phi (n) = n-1$，由费马小定理$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$即可证得。

　　2，若$n$不是质数，那么设集合$Z=\{ x_1,x_2,...,x_{\phi (n)} \}$表示小于且与$n$互质的正整数的集合，那么因为$a$与$n$也互质，那么$a * x_i$与$n$也互质。又对于任意的$x_i,x_j,i \neq j$，都有$a * x_i \% n \neq a * x_j \% n$（由取模的消去律可得）。那么就有

　　 $a^{\phi (n)}*x_1*x_2*...*x_{\phi (n)} \pmod n$

　　$\equiv (a*x_1)*(a*x_2)*...*(a*x_{\phi (n)}) \pmod n$

　　$\equiv ((a*x_1 \% n)*(a*x_2 \% n)*...*(a*x_{\phi (n)} \% n)) \pmod n$

　　$\equiv x_1*x_2*...*x_{\phi (n)} \pmod n$

　　$\equiv 1 \pmod n$

　　又由消去律得到$a^{\phi (n)} \equiv 1\pmod n$。

　　

　　扩展欧拉定理：　

$a^b\equiv \begin{cases}a^{b\%\phi(p)}\pmod p & gcd(a,p)=1 \\a^b\pmod p & gcd(a,p)\neq1\&\&b<\phi(p)\\a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}\pmod p&gcd(a,p)\neq1\&\&b\geq\phi(p) \end{cases}$

 

　　额这个实在是懒，真的不想证（$\LaTeX$打公式累。。。>.<）。

例题

　　UVA12995 【Solution】

　　Luogu.org P4139 【Solution】