POJ1845 Sumdiv [数论，逆元]

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Sumdiv

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Description

Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).

Input

The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.

Output

The only line of the output will contain S modulo 9901.

Sample Input

2 3

Sample Output

15

Hint

2^3 = 8. 
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15. 
15 modulo 9901 is 15 (that should be output). 

Source

Romania OI 2002

 

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　　分析：

　　题意就是求A^B在mod 9901下的约数和。

　　之前遇到过一个一模一样的题，直接分解质因数，把每一个质因数按照费马小定理对9901-1取模然后直接暴力计算就过了，但是在这里死活过不了。然后稍微推了一下发现这么做有BUG，因为9900不是质数，取模的时候会出错。

　　然后翻了一下lyd的书，正解思路了解一下。

　　同样先分解质因数，再由约数和定理ans=(1+q1+q1^2+...+q1^(c1*b))*(1+q2+q2^2+...+q2^(c2*b))*...*(1+qn+qn^2+...qn^(cn*b))可得，对于每一个质因数qi，求(1+qi+qi^2+...+qi^(ci*b))时，可以用等比数列的求和公式求，即(qi^(b*ci+1))/(qi-1)，但是除法并不满足取模的分配律，所以就用逆元来代替。也就是求1/(qi-1)在模9901下的逆元。但是要注意，qi-1可能被9901整除，此时不存在逆元。不过可以发现，此时qi mod 9901=1，那么(1+qi+qi^2+...+qi^(b*ci))=1+1+1+...+1（b*ci+1个1），特判即可。

　　Code：

 

//It is made by HolseLee on 21st June 2018
//POJ 1845
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=9901;
const ll N=5e6+7;
ll A,B,q[N],f[N],ans,tot,cnt;
void fenjie()
{
    for(ll i=2;i*i<=A;i++){
        if(A%i==0){
            q[++cnt]=i;
            while(A%i==0){
            f[cnt]++;A/=i;}
        }
    }
    if(A>1)q[++cnt]=A,f[cnt]++;
}
inline ll power(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y>0){
        if(y&1)ret=(ret*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;y>>=1;}
    return ret;
}
void work()
{
    fenjie();ans=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        if((q[i]-1)%mod==0){
            ans=(ans*(B*f[i]+1)%mod)%mod;
            continue;}
        ll x=power(q[i],B*f[i]+1);
        x=(x-1+mod)%mod;
        ll y=power(q[i]-1,mod-2);
        ans=(ans*x*y)%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
}
int main()
{
    cin>>A>>B;
    work();return 0;
}