方阵乘向量的初步理解

我们来看看y=Rx的含义。简单起见我们用二维情况来解释。x是2*1向量，R是2*2的旋转变换矩阵，y是2*1向量。根据之前的理解，y=R（AB）x可以理解为，一个向量k，已知k在坐标系B下坐标为x，在坐标系A下坐标为y。这就用“向量不变，坐标系变化（旋转）”的方式理解y=Rx的意义。另外我们也可以想象一下，假设R（AB）描述了A逆时针旋转theta得到B，y=R（AB）x则可以理解为将向量k顺时针旋转theta得到新的向量h，k，h在坐标系A下的坐标分别为x，y。这就用“坐标系不变，向量变化（旋转）”的方式去理解y=Rx的意义。可以在不同的场合选用方便的理解方式。

 

接下来我们看看y=Sx的含义。依然以二维情况为例，x是2*1向量，S是2*2的缩放变换矩阵，y是2*1向量。S是对角方阵，S11和S22不一定相等，S12=S21=0。我们用“坐标系不变，向量变化”的方式来理解。y的x分量仅仅与S11以及x的x分量有关，y的y分量仅仅与S22以及x的y

分量有关，也就是说，将向量x的x分量缩放S11倍，同时y分量缩放S22倍，再相加得到新的向量y。这就是y=Sx的含义。要注意，通常情况下新向量y与原向量x的方向不一定一致。

 

上面两个例子都表明，y=Ax，有可能可以统一理解为对向量x进行某项操作得到新的向量y，而这个操作就是用矩阵A来表示。