Hough Transformation (霍夫变换)

考虑以下一个图像处理问题：通过边缘检测我们得到了图像的edges，原本是一条直线的edge可能因为噪声或者其他原因导致断成几段edges，如何把他们连起来。（这还是我当初去ASTRI HK时候遇到的面试题）关键就在于判断图像中那些edges是属于一条直线的，或者说，那些edge points（称为前景点）是（近似地）落在一条直线上的。

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霍夫变换提供了一种简单的方法去完成这个任务。所谓霍夫变换，就是将（描述图像的）笛卡尔坐标下的一类图形变换到参数空间上的一个点，不同位置，不同取向，不同尺寸的同一类图形（也就是说相似的一类图形）在同一个参数空间中对应了不同的点。

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如果图形是线，那么对应的变换就是霍夫线变换。考虑图像笛卡尔坐标系下有一条直线

y=kx+b

则斜率k和截距b就是直线的两个参数，在b-k空间中，笛卡尔坐标系下的直线y=kx+b是一个点(k,b)。

考虑笛卡尔坐标系下一个定点(x0,y0)，通过这个定点的直线有无数条，每一条直线在b-k空间中是都是一个点，那么这些点有什么性质？

因为这些直线都过定点(x0,y0)，所以直线的k和b是不能任意选取的，必须满足y0=k*x0+b，也就是说必须满足b=-k*x0+y0，因此在笛卡尔坐标系下，过定点的一族直线，它们在b-k空间中是一条直线，直线上任一点是k和b的一组允许取值；反过来看，k-b空间中的一条直线，就表示笛卡尔坐标系下的一族直线，这族直线过同一个点。

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如果笛卡尔坐标系下有两个定点(x1,y1)和(x2,y2)，那么过(x1,y1)的那一族直线在b-k空间中是一条直线，过(x2,y2)的那一族直线在b-k空间中是另一条直线，这两条直线的交点(k,b)，描述的就是笛卡尔坐标系中同时过两个定点(x1,y1)和(x2,y2)的直线了。由此类推，如果笛卡尔坐标系下有100个点，这些点（近似）共线，记为直线l，那么过这些点的直线族在b-k空间中分别是100条直线，这100条直线会（近似）交于一点(k,b)，这点(k,b)就是描述l的参数。

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因此，打个比方，将k从-99到100，以1为分割单位，b从-99到100，以1为分割单位，这样就构成了200*200个(b,k)对，每一个b-k对有自己的counter，对笛卡尔坐标系下每一个前景点做霍夫线变换，得到b-k空间中的一条直线q，k从-99到100，1为分割，计算出最接近这条直线q的{b}，然后所有的这些(k,b)的counter+1。形象点说，就是b-k空间划分了200*200个小方格，直线q穿过的那些小方格，counter+1。对笛卡尔坐标系下每一个前景点完成这样的操作之后，看看这个200*200的小方格的counter矩阵哪里出现峰值，峰值对应的(k,b)就是笛卡尔坐标系下那些前景点（或部分这些前景点）共线的那一条直线。如果已知前景点分成N组，每组分别近似共线，那么就在counter矩阵中寻找N个峰值。

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上边的方法有一个问题，就是k不能取无限大，所以垂直x轴的直线在b-k空间中无法表示出来。因而对于直线，参数方程我们通常用

x*cos(theta)+y*sin(theta)=rou

来表示，也就是极坐标表示，rou是笛卡尔坐标系原点到该直线的距离，theta是该直线与笛卡尔坐标系x轴夹角，这样参数空间就从b-k变为rou-theta，过笛卡尔坐标系下一定点的直线族，在rou-theta空间中是一条正弦曲线，其余概念和方法类似。

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