LuoguP6400 题解

LuoguP6400 题解

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本题巨大的数据范围仿佛在告诉我们这是一道数位 DP，但是在阅读完题面后却发现自己束手无措。

于是开始写无脑暴力，枚举每个数，然后求位数积，判断。这显然是一种偏离正解的方法，无法进一步进行优化。

换一种想法，如果枚举数不可行，就枚举位数积。记 \(S\) 为 \(x\) 的位数积，显然对于相同的 \(S\) 会对应多个 \(x\)。如果通过枚举每一位上的数来确定 \(S\)，无异于暴力。因此考虑两种枚举 \(S\) 方法：

1. 枚举 \(S\) 中每个数字出现的个数。

   如果直接枚举出现次数，相当于把 \(18\) 个位置放进 \(10\) 个框，总情况数为 \(\mathrm{C_{27}^{9}=4686825}\)，无法再继续进行统计对应 \(x\) 的个数，必然超时。

   考虑优化。一个较为显然的结论就是 \(S\le x\)。又 \(1\le A\le B\le 10^{18}\)，所以 \(S\times x\le 10^{18}\)，从而推出 \(S\le 10^9\)。

   还有一个结论就是，如果 \(x\) 中某一数位上的数为 \(0\)，那么 \(S\times x=0<A\le B\)，一定不存在于 \([A,B]\) 内。

   因此我们只需考虑把 \(9\) 个位置放进 \(9\) 个框，总情况数就减为 \(\mathrm{C_{17}^8=24310}\)，使得后续的统计成为可能。

2. 枚举 \(S\) 中 \(2,3,5,7\) 四个质数出现的个数。

   由于 \(S\) 必然是由 \(0-9\) 这些数的幂相乘而得的，在第 \(1\) 种方法中我们已经得出 \(0\) 毫无作用。因此剩下的数除 \(1\) 以外在分解质因数后一定是由上述四个质数组成，从而可以推出 \(S\) 可以表示成 \(2^a\times 3^b\times 5^c\times 7^d\) 的形式的。（\(\mathrm{a,b,c,d\in N}\)）

   又因为 \(S\le 10^9\)，因此 \(a\le 29\)，\(b\le 18\)，\(c\le 12\)，\(d\le 10\)。

   通过相应枚举代码可以得出满足 \(S\le 10^9\) 的四元组 \((a,b,c,d)\) 的个数为 \(5194\) 种，为后续统计都留了较多的时空。

这里着重讲解第 \(2\) 种枚举方法后的统计。

首先通过 \(S,A,B\) 我们可以得知 \(x\) 的范围 \(L\) 和 \(R\)。

void count(ll mul,int fac)
{
	if(mul>B/mul)return;
	if(fac==4)
	{
		ll L=(A-1ll)/mul+1ll;
		ll R=B/mul;
		ans+=solve(R)-solve(L-1);
		return;
	}
	count(mul,fac+1);
	cnt[fac]++;
	count(mul*c[fac],fac);
	cnt[fac]--;
}

然后考虑通过数位 DP 来求得在 \([L,R]\) 中满足条件的 \(x\) 的个数。

设计状态 \(\mathrm{dp[pos][cnt[0]][cnt[1]][cnt[2]][cnt[3]]}\)，其中 \(\mathrm{pos}\) 表示当前数位，\(\mathrm{cnt[0-3]}\) 分别表示还需填入的 \(2,3,5,7\) 的数量。

注意 \(0\) 对答案的干扰。除了作为前导零以外，为了与上面枚举过程想契合，我们不能在数位上填 \(0\)。

ll ans=0;
if(lead)ans+=dfs(pos-1,limit&&a[pos]==0,true);
int up=limit?a[pos]:9;
for(int i=1;i<=up;i++)
{
	if(!enough(i))continue;
	work(i,-1);
	ans+=dfs(pos-1,limit&&i==up,false);
	work(i,1);
}
if(!limit&&!lead)DP=ans;
return ans;

注意 \(1-9\) 每个数的组成，如 \(6=2\times 3\)，那么填入 \(6\) 就会对应地消耗 \(1\) 个 \(2\) 和 \(1\) 个 \(3\)。对应关系如下：

const int dig[10][4]={{0,0,0,0},//0位置无实际意义，无需理会
{0,0,0,0},{1,0,0,0},{0,1,0,0},
{2,0,0,0},{0,0,1,0},{1,1,0,0},
{0,0,0,1},{3,0,0,0},{0,2,0,0}};

统计部分要求无最高位限制和前导零。如果所有数位填完后，还要检查是否 \(4\) 个质数都已填完。相应部分如下：

if(pos==0)return (!lead)&&check();
ll &DP=dp[pos][cnt[0]][cnt[1]][cnt[2]][cnt[3]];
if(!limit&&!lead&&DP!=-1)return DP;

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本题讲解至此就告一段落了，上述代码块中个别函数请读者自行完成，如有疑问请评论提出，欢迎指正。