HDU 6156 题解

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题目分析

设 \(cnt\) 表示在 \(k\) 进制下，\([L,R]\) 范围内回文数的个数。故有 (R-L+1)-cnt 个数字不是回文数。根据题意，在 \(k\) 进制下对答案的贡献为 cnt*k+(R-L+1)-cnt 。

不难想到用数位 DP 去求出 \(cnt\) 的值。

设计状态 \(dp[pos][len][k]\)，表示当前填到第 \(pos\) 位，总长度为 \(len\)，进制数位 \(k\) 下的数的个数。

Q1 ：为何将 \(len\) 设计入状态？

对于 \(k\) 进制下的数 \(x\)，必然没有前导零。因此判断它是否为回文数，就看这个长度为 \(len\) 的字符串是否左右对应相等。

Q2 ：如何在函数中下传 \(len\) ？

\(len\) 的值与前导零密切相关。如果前面为前导零，且填的这一位仍为 \(0\)，那么接下来 dfs 的数的长度就 -1。否则，\(len\) 的值就固定了。

Q3 ：如何方便地判断是否为回文串？

1. 如果填的为前导零，无需判断，继续搜。
2. 如果当前已填的长度小于总长 \(len\) 的一半，则可以任意填 \(0-9\) 间的任意数字，毕竟不影响是否回文。
3. 如果当前已填的长度大于总长 \(len\) 的一半，那么填的数就已经固定了，为之前填过的关于 \(\dfrac{len+1}{2}\) 位对称的数字。（\(len\) 为偶数时假想最中间有一位）

Q4 ：你怎么知道前面填了什么数？

由于深搜是一条路径往黑里搜，当前所搜的状态之前的东西是暂时不会改变的，因此开一个数组记录当前已填的每位所对应所填入的数字即可。

代码展示

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int M=80;

int k,a[M],c[M];
ll dp[M][M][40];
char s[M];

ll dfs(int pos,int len,int k,bool lead,bool limit)
{
	if(pos==0)return 1;
	if(!limit&&dp[pos][len][k]!=-1)
		return dp[pos][len][k];
	int up=limit?a[pos]:k-1;
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=up;i++)
	{
		ll tmp=0;c[pos]=i;
		if(lead&&(i==0))
			tmp=dfs(pos-1,len-1,k,true,limit&&i==up);
		else if(pos>len/2)
			tmp=dfs(pos-1,len,k,false,limit&&i==up);
		else if(c[len-pos+1]==i)
			tmp=dfs(pos-1,len,k,false,limit&&i==up);
		ans=ans+tmp;
	}
	if(!limit)dp[pos][len][k]=ans;
	return ans;
}

ll solve(ll x,int k)
{
	int len=0;
	while(x)
	{
		a[++len]=x%k;
		x/=k;
	}
	return dfs(len,len,k,true,true);
}

int main()
{
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	int T;scanf("%d",&T);
	for(int t=1;t<=T;t++)
	{
		ll L,R,ans=0;int l,r;
		scanf("%lld%lld%d%d",&L,&R,&l,&r);
		for(int i=l;i<=r;i++)
		{
			ll sum=solve(R,i)-solve(L-1,i);
			ans+=sum*i;
			ans+=(R-L+1-sum);
		}
		printf("Case #%d: %lld\n",t,ans);
	}
	return 0;
}