背包问题（01背包+滚动数组+完全背包）

0|101背包

定义：在$M$件物品取出若干件放在空间为$V$的背包里，每件物品的体积为$V_1$，$V_2$至$V_n$，与之相对应的价值为$W_1$，$W_2$至$W_n$。

01背包的约束条件是给定几种物品，每种物品有且只有一个，并且有权值和体积两个属性。

在01背包问题中，因为每种物品只有一个，对于每个物品只需要考虑选与不选两种情况。

（故称为01背包。）

解决这个问题我们需要从前一个状态递推到下一个状态，最终递推到我们想要的状态。

01背包题目的雏形是：

有$N$件物品和一个容量为$V$的背包。第$i$件物品的体积是$c[i]$，价值是$w[i]$。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这个问题核心的矛盾有两处：1.背包的容量，2.所装物品的价值。

所以，我们不妨假设背包内物品的价值为$F(I,C)$ 。（$ I $是对应的物品序号，$C$是它的体积）

阶段：前 $I$ 件物品中，已经选取若干件物品放在背包中

状态：前 $I$ 件物品，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值

决策：第 $I$ 件物品放或者不放

由此，其状态转移方程为：

$f[i][v] = max({f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]})$

理解：对于第 $i$ 件物品，要么不放背包：$f[i-1][v]$；要么就放入背包：$f[i-1][v-c[i]]+w[i]$。

（放入背包，就是 $-c[i]$ 的体积，然后价值 $+w[i]$ 。）

代码如下：

void DP(int v,int m)//m个物品，背包体积为v
{
	f[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=0;j<=v;++j)	
		{
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if(j>=c[i])
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);
		}
}

优化：滚动素组

滚动数组是一种能够在动态规划中降低空间复杂度的方法。

有时某些二维dp方程可以直接降阶到一维，在某些题目中甚至可以降低时间复杂度，是一种极为巧妙的思想。

简要来说，就是通过观察dp方程来判断需要使用哪些数据，可以抛弃哪些数据。

一旦找到关系，就可以用新的数据不断覆盖旧的数据量来减少空间的使用。

从而实现“滚动”。

例：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,a[4];	scanf("%d",&n);//a[0]不用 
	a[1]=1; a[2]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        a[3] = a[1] + a[2];
		printf("%d ",a[1]); 
        a[1] = a[2];
        a[2] = a[3];
    }
    return 0;
}
//输入n,得到前n项斐波那契数列。

让$a_1$ ， $a_2$不断的更新迭代，从而完成斐波那契数列的计算。

在01背包中，问题核心的矛盾有两处：1.背包的容量，2.所装物品的价值。

那么对于物品的序号$i$，便是一个可以抛弃的数据。

我们让$ f[i]$的数据，覆盖在$f[i-1]$上。

（就是表格法只用一层表格。）

这时我们的$F$函数只有一个参数$C$。

也就是说我们在每次遍历时，背包里面刚开始存的是上一个状态的，核心代码变成了这样：

for(i=1;i<=m;++i)//枚举个数
    for(j=c[i];j<=n;++j)//枚举容量
        f[j] = max(f[j],f[j-c[i]] + w[i]);

像之前那样的思考：

如果$j < c[i]$ 之前是 $f[i][j] = f[i-1][j]$，

这里就不考虑 $f[j]$ ,所以 $f[j]$ 将保存上一次的状态，等价于上述的式子。

如果$j \geq c[i]$,之前是 $f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]] + w[i])$

现在是 $f[j] = max(f[j],f[j - c[i]] + w[i])$

两者都是在考虑$i-1$个物品时容量为$j$的最大价值，和上一状态要把这个物品放进去这两个状态之间
得到的最大价值。

既然都是等价的，理论上我们应该可以直接套用这个新的板子。

但是，

其实依然存在一些问题，等价但不完全等价，关键点在于循环顺序。

试着考虑这样的一个问题，我们考虑 $j$ 状态和 $2j$ 状态：

$j$ 状态的所面临的问题：

f[j] = max(f[j],f[j-c[i]] + w[i]);

$2j$ 状态所面临的问题：

f[2j] = max(f[2j],f[2j-c[i]] + w[i]);

当 $j=c[i]$ 时我们可以看到：

f[j] = max(f[j],f[0] + w[i]);
f[2j] = max(f[2j],f[j] + w[i]);
//j=c[i];
//j-c[i]=0;
//2j-c[i]=j;

对于同一个物品$c[i]$，在循环到$j=c[i]$和$2j$时都要考虑放与不放的问题，

所以我们可能在$ f[j]$时已经把这个物品放进去了，但是在$f[2j]$时我们又放了一次，

这就违背了题目中每个物品只有一件的题意。

问题出在哪里？

理论上难道不是等价的吗?

其实我们可以发现$f[2j] = max(f[2j],f[j] + w[i])$

这里的$f[j]$如果已经被更新过，那么它保存的就是这个状态，而不是上一个状态

真正的优化：

所以我们重新考虑循环的顺序，我们采用倒序循环，也就是

void DP(int v,int m)//m个物品，背包体积为v
{
    for(int i=1;i<=m;++i)
        for(int j=v;j>=c[i];--j)
            f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
}

这样我们就可以保证$max$中比较的状态都是上一个状态。

1|0完全背包

定义：

有$N$种物品和一个容量为$V$的背包，每种物品都有无限件可用。第 $i$ 种物品的体积是 $c_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

（与01背包的区别就是，物品可以无限使用。）

如果仍然按照解01背包时的思路：令 $f[v]$ 表示前 $i$ 种物品恰放入一个容量为 $v$ 的背包的最大权值。

仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程：

$ f[j]=max({f[j],f[j-kc]+kw})（0 \leq k*c \leq v）$

（k是所取物品的个数。）

说到多次使用，前一篇文章中提到过01背包的错误写法：顺序循环，

错误的原因便是在背包中可能多次的加入了同一件物品。

而这正是完全背包的写法：

for(i=1;i<=m;++i)//枚举个数
    for(j=c[i];j<=n;++j)//枚举容量
        f[j] = max(f[j],f[j-c[i]] + w[i]);

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本文作者：x_miracle
本文链接：https://www.cnblogs.com/cyl-oi-miracle/p/16468091.html
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