二分查找 Binary Search
二分查找(Binary Search)
二分查找也称折半查找(Binary Search),相对于普通的顺序查找,二分查找具有极好的效率。
使用条件:要求线性表必须采用 顺序存储结构 ,而且表中元素按关键字 有序排列 。
时间复杂度:$ \Theta(logn) $
查找过程:
首先,假设表中元素是按升序排列。
将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较,如果两者相等,则查找成功;
否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表,如果中间位置记录的关键字大于查找关键字,则进一步查找前一子表,否则进一步查找后一子表。
重复以上过程,直到找到满足条件的记录,使查找成功,或直到子表不存在为止,此时查找不成功。
手写二分查找
int Binary_search(int x,int from,int to)
{
int l=from,r=to,mid=0;
//a数组是升序,查找区间从from开始,到to结束。
while(l<=r)
{
int mid=l+( (r-l)>>1 );/*注*/
if(a[mid]>x)//中值大于所求值,所求值在左边。
r=mid-1;
else if(a[mid]<x)//中值小于于所求值,所求值在右边。
l=mid+1;
else
return mid;
}
return -1;
//找不到返回-1.
}
注:
使用$ (l+r)/2$ 或是 $l+r>>1 \(会有**整数溢出的问题**。
即:\)l+r$ 的结果有可能大于表达式结果类型所能表示的最大值,
这样,产生溢出后再/2是不会产生正确结果的,而 \(l+(r-l)/2\)
不存在这个问题。
关于二分查找的两个 STL 模板:
binary_search:二分查找函数。一般格式:(开始位置,结束位置,要找的元素)。如果能找到,返回"true",否则,返回"false"。
lower_bound:前者只能判断数是否存在。并不能返回数的位置。lower_bound,找出第一个大于等于指定数的位置(迭代器)。如果没有找到,返回最后一个数据的后一个位置。
测评地址:P2249 【深基13.例1】查找
手写:
#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 1000005
int a[MAXN];
int main()
{
int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int l=1,r=n,x; scanf("%d",&x);
//二分部分
while(r>=l)//= //=即 子区间还有一个。
{
int mid=l+( (r-l)>>1 );//(l+r)/2
/*注1*/
if(a[mid]<x)l=mid+1;
else r=mid-1;
//这里从题目而言,是为了保证是第一个出现的位置。
//所以说如果是a[mid] == x,那么,它会继续往左压,保证是第一个出现。
}
if(a[l]==x) printf("%d ",l);
//l或r都可以
else printf("-1 ");
}
return 0;
}
STL模板:
#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 1000005
int a[MAXN];
int main()
{
int n,m; std::scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i) std::scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int x; std::scanf("%d",&x);
int j=std::lower_bound(a+1,a+n+1,x)-a;
//指针减,得到下标
if(a[j]!=x) std::printf("-1 ");
else std::printf("%d ",j);
}
return 0;
}
手写二分的测评结果:
lower_bound的测评结果:
对比可以看出,手写二分的时间是略快于lower_bound的。说明lower_bound的时间复杂度常数较大。
但lower_bound的代码相对于手写二分简单。两者各有利弊。
做题感悟:
- 题目中常常出现的是运用二分查找的思想,灵活变通的运用二分,并不是简简单单的查找数值,所以要熟练的掌握手写二分。