hdu 1568 (log取对数 / Fib数通项公式)

2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

 

input： 输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

 

output：输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

 

  

　　刚开始看到这么大的数据，于智商有限的我，表示无能为力，于是YY数论的东西，最后以无结果告终- -!

　　后搜到AC的博客中一篇此题的详细剖析过程，顿时对核武的膜拜又升了一个档次.......

　　要点：

　　　　1. log取对数的运用

　　　　2. Fib数的通项公式

　　以下摘自AC博客：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/60bbae2b38c6f52ad42af18f.html

先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198
那么要取几位就很明显了吧~
先取对数(对10取),然后得到结果的小数部分bit,pow(10.0,bit)以后如果答案还是<1000那么就一直乘10。
注意偶先处理了0~20项是为了方便处理~

这题要利用到数列的公式:an=(1/√5) * [((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n](n=1,2,3.....)

 

取完对数

log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)其中f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)->0
所以可以写成log10(an)=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);
最后取其小数部分。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int fac[21]={0,1,1};
const double f=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
int main()
{
    double bit;
    int n,i;
    for(i=3;i<=20;i++)fac[i]=fac[i-1]+fac[i-2];//求前20项
    while(cin>>n)
    {
        if(n<=20)
        {
            cout<<fac[n]<<endl;
            continue;
        }
        bit=-0.5*log(5.0)/log(10.0)+((double)n)*log(f)/log(10.0);//忽略最后一项无穷小
        bit=bit-floor(bit);
        bit=pow(10.0,bit);
        while(bit<1000)bit=bit*10.0;
        printf("%d\n",(int)bit);
    }
    return 0;
}