6.4 图的存储结构

6.4 图的存储结构

6.4.1邻接矩阵

1.邻接矩阵表示法

邻接矩阵：表示顶点之间相邻关系的矩阵。

邻接矩阵表示法：运用二维数组

用两个数组分别存储顶点信息和邻接矩阵

一维：存储顶点信息

二维：存储邻接矩阵

#define MaxInt 32767  //表示极大值，即无穷
#define MVNum 100  //最大顶点数
typedef char VerTexType;  //假设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType;    //假设边的权值类型为整型
typedef struct
{
    VerTexType vexs[MVNum]; //顶点表
    ArcType arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵
    int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和边数
}AMGraph;

2.采用邻接矩阵表示法创建无向网

已知一个图的点和边， 使用邻接矩阵表示法来创建此图的方法比较简单， 下面以一个无向网为例来说明创建图的算法。

算法6.1 采用邻接矩阵表示法创建无向网

1.步骤

①输入总顶点数和总边数。

②依次输入点的信息存入顶点表中。

③初始化邻接矩阵， 使每个权值初始化为极大值。

④构造邻接矩阵。依次输入每条边依附的顶点和其权值，确定两个顶点在图中的位置之后，使相应边赋予相应的权值，同时使其对称边赋予相同的权值。

2.实现

Status CreateUDN(AMGraph &G) 
{//采用邻接矩阵表示法，创建无向网G
cin>>G.vexnum>>G.arcnum; ／／输人总顶点数，总边数
for(i=O;i<G.vexnum;++i) ／／依次输入点的信息
  cin>>G.vexs[i]; 
for(i=O;i<G.vexnum;++i）／／初始化邻接矩阵，边的权值均置为极大值Maxint
  for (j =0; j <G. vexnum; ++j) 
    G.arcs[i] [j]=Maxint;
for(k=O;k<G.arcnum;++k) ／／构造邻接矩阵
{
  cin>>vl>>v2>>w; ／／输人一条边依附的顶点及权值
  i=LocateVex(G,vl);j=LocateVex(G,v2); //确定vl和v2在G中的位置，即顶点数组的下标
  G.arcs[i] [j]=w; //边<vl, v2>的权值置为w
  G.arcs[j] [i]=G.arcs[i] [j];
  }
return OK; 
} 

3.邻接矩阵的优缺点

(1)优点

①便于判断两个顶点之间是否有边， 即根据A[i] [j]= 0或1来判断。

②便于计算各个顶点的度。对于无向图，邻接矩阵第i行元素之和就是顶点i的度；对于有向图，第i行 元素之和就是顶点 i 的出度，第i 列元素之和就是顶点i的入度。

(2) 缺点

①不便于增加和删除顶点。

②不便于统计边的数目，需要扫描邻接矩阵所有元素才能统计完毕，时间复杂度O(n^2)

③空间复杂度高。如果是有向图，n个顶点需要n2个单元存储边。如果是无向图，因其邻接矩阵是对称的，所以对规模较大的邻接矩阵可以采用压缩存储的方法，仅存储下三角（或上三角）的元素，这样需要n(n-1)/2个单元即可。但无论以何种方式存储，邻接矩阵表示法的空间复杂度均为0（n^2)，这对千稀疏图而言尤其浪费空间。

6.4.2邻接表

1.邻接表表示法

在邻接表中，对图中每个顶点V; 建立一个单链表，把与 V;相邻接的顶点放在这个链表中。邻接表中每个单链表的第一个结点存放有关顶点的信息， 把这一结点看成链表的表头， 其余结点存放有关边的信息， 这样邻接表便由两部分组成：表头结点表和边表。

(1)表头结点表：由所有表头结点以顺序结构的形式存储， 以便可以随机访问任一顶点的边链表。表头结点包括数据域 (data) 和链域 (firstarc) 两部分。

(2)边表：由表示图中顶点间关系的 2n个边链表组成。 边链表中边结点包括邻接点域(adjvex)、数据域 (info)和链域 (nextarc)三部分。

#define MVNum 100 //最大顶点数
typedef struct ArcNode//边结点
｛ 
int adjvex; //该边所指向的顶点的位置
struct ArcNode * nextarc; //指向下一条边的指针
Otherinfo info; //和边相关的信息
}ArcNode; 
typedef struct VNode //顶点信息
｛ 
VerTexType data; 
ArcNode *firstarc; //指向第一条依附该顶点的边的指针
) VNode,AdjList[MVNum]; //AdjList表示邻接表类型
typedef struct ／／邻接表
AdjList vertices; 
int vexnum,arcnum; //图的当前顶点数和边数
}ALGraph; 

 

2.采用邻接表表示法创建无向图

基于上述的邻接表表示法， 要创建一个图则需要创建其相应的顶点表和边表。下面以一个无向图为例来说明采用邻接表表示法创建无向图的算法。

算法6.2 采用邻接表表示法创建无向图

1.步骤

①入总顶点数和总边数。

②依次输入点的信息存入顶点表中，使每个表头结点的指针域初始化为NULL。

③创建邻接表。依次输入每条边依附的两个顶点， 确定这两个顶点的序号l和）之后， 将此边结点分别插入 Vi和vj对应的两个边链表的头部。

2.实现

Status CreateUDG(ALGraph &G) 
{//采用邻接表表示法， 创建无向图 G
cin>>G.vexnum>>G.arcnum; //输入总顶点数， 总边数
for(i=O;i<G.vexnum;++i) //输入各点，构造表头结点表
{
cin»G.vertices[i] .data; //输入顶点值
G.vertices[i] .firstarc=NULL;//初始化表头结点的指针域为NULL
}//for 
for(k=O;k<G.arcnum;++k) //输入各边， 构造邻接表
{
cin>>vl>>v2; //输入一条边依附的两个顶点 
i=LocateVex(G,vl); j =LocateVex(G,v2); //确定vl和 v2在G中位置， 即顶点在G.vertices中的序号
pl=new ArcNode;//生成一个新的边结点*pl
pl->adjvex=j; //邻接点序号为
pl->nextarc=G. vertices [i] . firstarc; G. vertices [i] . firstarc= pl; //将新结点*pl插入顶点Vi的边表头部
p2=new ArcNode; //生成另一个对称的新的边结点*p2
p2->adjvex=i; //邻接点序号为1
p2->nextarc=G.vertices[j] .firstarc; G.vertices[j] .firstarc=p2; //将新结点*p2插入顶点Vj的边表头部
}//for 
return OK;
}

3.邻接表表示法的优缺点

(1) 优点

①便于增加和删除顶点。

②便于统计边的数目，按顶点表 顺 序扫描 所 有边表可得到边的数目，时间复杂度为O(n + e)。

③空间效率高。对于一个具有n个顶点e条边的图 G, 若 G 是无向图，则在其邻接表表示中有 n 个顶点表结点和 2e 个边表结点；若 G 是有向图，则在它的邻接表表示或逆邻接表表示中均有 n 个顶点表结点和e个边表结点。因此，邻接表或逆邻接表表示的空间复杂度为 O(n + e), 适合表示稀疏图。对于稠密图，考虑到邻接表中要附加链域，因此常采取邻接矩阵表示法。

(2)缺点

①不便于判断顶点之间是否有边，要判定 Vi和vj之间是否有边，就需扫描第i个边表，最坏情况下要耗费 O(n)时间。

②不便于计算有向图各个顶点的度。对千无向图，在邻接表表示中顶点V;的度是第i个边表 中的结点个数。 在有向图的邻接表中，第 i 个边表上的结点个数是顶点 V;的出度，但求 vi;的入度较困难，需遍历各顶点的边表。若有向图采用逆邻接表表示，则与邻接表表示相反，求顶点的入度容易，而求顶点的出度较难。

6.4.3十字链表

十字链表 (Orthogonal List)是有向图的另一种链式存储结构。可以看成是将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的一种链表。 在十字链表中，对应千有向图中每一条弧有一个结点，对应于每个顶点也有一个结点。

#define MAX_ VERTEX_NUM 20 
typedef strut ArcBox 
{
int tailvext,headvex; //该弧的尾和头顶点的位置
struct ArcBox *hlink, *tlink; //分别为弧头相同和弧尾相同的弧的链域
InfoType *info; //该弧相关信息的指针
}ArcBox; 
typedef struct VexNode 
VertexType data; 
ArcBox *firstin,*firstout; //分别指向该顶点第一条人弧和出弧
}VexNode; 
typedef struct 
｛ 
VexNode xlist [MAX_VERTEX_NUM]; //表头向扯
int vexnnm, arcnum; //有向图的当前顶点数和弧数
}OLGraph; 

6.4.4邻接多重表

邻接多重表 (Adjacency Multilist) 是无向图的另一种链式存储结构。

#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef enum{unvisited,visited} Visitlf;
typedef struct EBox
{
Visitlf mark; //访问标记
int ivex, jvex; //该边依附的两个顶点的位置
struct EBox *ilink, *jlink; //分别指向依附这两个顶点的下一条边
InfoType *info; //该边信息指针
} Ebox; 
typedef struct VexBox 
｛ 
VertexType data; 
EBox *firstedge; //指向第一条依附该顶点的边
}VexBox; 
typedef struct{ 
VexBox adjmulist [MAX_VERTEX_NUM]; 
int vexnum, edgenum;//无向图的当前顶点数和边数
}AMLGraph;