代码源每日一题Div1 103 子串的最大差 题解
代码源每日一题Div1 103 子串的最大差 题解
简要题意
一个序列的最大差，定义为该序列最大值与最小值的差。
给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(\{a_n\}\)，求出该数列所有连续子串的最大差之和。
\(n\leq 5*10^5,0\leq a_i\leq 10^8\)
本题目原型为CF817D Imbalanced Array
题解
枚举子串肯定不行，双指针也只是算最大/最小而不是求和，所以我们只能算每个数的贡献。
我们记一个子序列的最大值为 \(f(l,r)\)，最小值为 \(g(l,r)\)，那么我们要求的值即为：
\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i}^n(f(l,r)-g(l,r))=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i}^nf(l,r)-\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i}^ng(l,r)
\]
这个等式意味着一个数列的 f 和 g 可以分开来单独计算，而不是合并起来一起计算。
分开计算后，我们分别使用单调栈来分别处理即可：对于某个元素 \(x\)，直接找到左右边界，然后乘法原理算出所有区间的数量，最后逐渐累加即可。
同时，注意到这种计算必须得让所有元素各不相同，否则会导致一个区间被算了多次或者出现重复等情况，所以必须得进行一次离散化操作。
离散化操作＋单调栈，总复杂度 \(O(n\log n)\)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 1000010;
int n, a[N];
int f[N], g[N];
namespace DC {
struct Node {
int val, id;
bool operator < (const Node &rhs) {
return val < rhs.val;
}
} arr[N];
void solve() {
for (int i = 1; i <= n; ++i)
arr[i] = (Node){a[i], i};
sort(arr + 1, arr + n + 1);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
a[arr[i].id] = i;
}
int get(int id) { return arr[id].val; }
};
LL solve1() {
memset(f, 0, sizeof(f));
memset(g, 0, sizeof(g));
stack<int> s;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
while (!s.empty() && a[s.top()] < a[i]) {
int x = s.top(); s.pop();
f[x] = i;
}
s.push(i);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (f[i] == 0) f[i] = n + 1;
while (!s.empty()) s.pop();
for (int i = n; i >= 1; --i) {
while (!s.empty() && a[s.top()] < a[i]) {
int x = s.top(); s.pop();
g[x] = i;
}
s.push(i);
}
LL res = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
res += 1LL * DC::get(a[i]) * (i - g[i]) * (f[i] - i);
return res;
}
LL solve2() {
memset(f, 0, sizeof(f));
memset(g, 0, sizeof(g));
stack<int> s;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
while (!s.empty() && a[s.top()] > a[i]) {
int x = s.top(); s.pop();
f[x] = i;
}
s.push(i);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (f[i] == 0) f[i] = n + 1;
while (!s.empty()) s.pop();
for (int i = n; i >= 1; --i) {
while (!s.empty() && a[s.top()] > a[i]) {
int x = s.top(); s.pop();
g[x] = i;
}
s.push(i);
}
LL res = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
res += 1LL * DC::get(a[i]) * (i - g[i]) * (f[i] - i);
return res;
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cin >> a[i];
DC::solve();
cout << solve1() - solve2() << endl;
return 0;
}
