CF Round 788 Div2 题解

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A题 Prof. Slim（签到）

给定一个长度为 $n$ 的数列 $\{a_n\}$（保证 $a_i\not=0$），我们可以对其进行若干次操作，每次操作都可以任意选择不同两项并交换他们的符号。

问，能否通过若干次操作，使得整个数列变为单调不降数列？

$n\leq 10^5,|a_i|\leq 10^9$

我们观察发现两个性质：

1. 不管怎么操作，每个位置的数的绝对值都不会改变
2. 使得单调不降，至少得把所有负号全部移到最前面

那么思路就显然了：统计数列中负号的数量，记为 $k$，当数列前 $k$ 位的绝对值单调不增，后 $k$ 位单调不降时，则能够通过操作使得整个数列单调不降。整个数列扫一遍，复杂度 $O(n)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200010;
int n, a[N];
bool solve() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> a[i];
    int k = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (a[i] < 0) ++k;
        a[i] = abs(a[i]);
    }
    for (int i = 2; i <= k; ++i)
        if (a[i] > a[i - 1]) return false;
    for (int i = k + 2; i <= n; ++i)
        if (a[i] < a[i - 1]) return false;
    return true;
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) puts(solve() ? "YES" : "NO");
    return 0;
}

B题 Dorms War（思维）

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ 和一个字符集合 $v$。

接下来，对字符串不断进行如下操作，操作流程如下：

1. 遍历所有字符，若该字符处于集合 $v$ 中，则将其前一个字符打上标记
2. 删除所有打上标记的字符

问，需要多少次操作之后，字符串不会再改变？（若操作次数为 $k$，则说明前 $k$ 次操作后字符串长度都发生了改变，而 $k+1$ 次及以后的操作则不会）

$n\leq 2*10^5$

我们直接将其转换成 01 串（在集合内的字符为 1，反之为 0），将问题简化一下。

当串中仅包含一个 1 时，操作次数显然就是这个 1 前面 0 的个数。

当存在多个 1 时，我们发现，后面的 1 需要额外多操作一次，以和前面的 1 进行合并（合并本身不会改变 0 的数量）。

那么，整体操作流程如下：

1. 将 01 串分割成若干仅包含一个 1，且 1 在最后的串（如 $[0001001101]$ 就拆成 $[0001],[001],[1],[01]$）
2. 统计每个串中 0 的数量
3. 对于非第一个串的 0 的数量要加上 1，作为操作次数
4. 求出最大值，即为整个串的总操作次数

（这题卡 STL 就 nm 离谱，第一次在 CF 上面被常数制裁

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200010;
int n, k;
char s[N];
int vec[N];
int solve() {
    //read & init
    scanf("%d%s", &n, s + 1);
    scanf("%d", &k);
    int vis[26];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        char stp[3];
        scanf("%s", stp);
        vis[stp[0] - 'a'] = 1;
    }
    //build
    int tot = 0, cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (vis[s[i] - 'a']) vec[++tot] = cnt, cnt = 0;
        else ++cnt;
    //solve
    if (tot == 0) return 0;
    int res = -1;
    for (int i = 1; i <= tot; ++i)
        res = max(res, vec[i] + (i > 1));
    return res;
}
int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) printf("%d\n", solve());
    return 0;
}

C题 Where is the Pizza?（数学，并查集）

给定两个不同的长度为 $n$ 的排列 $\{a_n\},\{b_n\}$。

接下来，我们要从这两个排列来构造新排列 $\{c_n\}$：

1. 对于一些指定位置，例如 $c_k$，我们规定其值必然为 $a_k$ 或者 $b_k$ 中的一个（题目数据给定）
2. 其他位置（例如 $c_i$），我们可以选择这个位置是 $a_i$ 亦或是 $b_i$

问，我们一共有多少种不同的选择方式？

$n\leq 5*10^5$，答案对 $10^9+7$ 取模，保证至少有一种方式

我们考虑位置没有指定的情况：

假定 $a=[1,2,3,4],b=[3,1,2,4]$，我们令 $c_1=a_1=1$，那么 $c_2$ 必然为 2（因为 $b_2=1$，已经选了，没法再选），随后 $c_3$ 必然是 3（因为 $b_2=2$ 也被选了）。

那么，我们注意到位置 $1,2,3$ 组成了一个闭环：一旦某个位置上面的值被确定，那么剩下来的位置就跟着确定。那么，我们称这个闭环为一个联通块（模拟一下就可以发现，这个联通块不会随你的选择而变化，它是固定的）。我们记联通块数量为 $t$，那么答案就是 $2^t$。

考虑到有些位置被确定了，那么我们直接看这几个位置在哪个联通块上，直接统计答案的时候跳过这几个对应的连通块即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 500010;
int n, a[N], b[N], c[N], d[N];
vector<int> e[N];
//
int fa[N];
int find(int x) {
    if (x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}
bool merge(int x, int y) {
    x = find(x), y = find(y);
    if (x != y) fa[x] = y;
    return x != y;
}
//
LL solve() {
    //read
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> b[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> d[i];
    //init
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        fa[i] = i, e[i].clear();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        e[a[i]].push_back(i), e[b[i]].push_back(i);
    //solve
    int tot = n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (merge(e[i][0], e[i][1])) tot--;
    set<int> s;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) s.insert(find(i));
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        if (d[i] || (a[i] == b[i])) s.erase(find(i));
    //calc
    LL res = 1, mod = 1e9 + 7;
    for (int i = 0; i < (int)s.size(); ++i)
        res = res * 2 % mod;
    return res;
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) cout << solve() << endl;
    return 0;
}

D题 Very Suspicious（数学，二分）

这题建议直接看原题题面

这题二分没得跑，问题是，我们怎么求出：$n$ 条线最多可以搞出多少个三角形？

我们将画的线按照三类来分，随后发现：每次加上某一条种类的线，就能多上另外两种线的数量乘上 2 的三角形。

按照数学规律，最合适的方式就是三种线轮流加，类似如下形式：

0 : 0 0 0
1 : 1 0 0
2 : 1 1 0
3 : 1 1 1
4 : 2 1 1
5 : 2 2 1
...

那么，我们可以直接尝试公式递推得到 $f(3k)$ 的值，然后模拟出 $f(3k+1),f(3k+2)$ 即可，规律如下：

$$f(3k)=6k^2 \\ f(3k+1)=f(3k)+4k \\ f(3k+2)=f(3k+1)+4k+2=f(3k)+8k+2$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
LL f(int n) {
    LL k = n / 3, res = 6 * k * k;
    switch (n % 3) {
    case 0:
        return res;
    case 1:
        return res + 4 * k;
    case 2:
        return res + 8 * k + 2;
    default:
        return -1;
    }
}
int solve() {
    int n;
    cin >> n;
    int l = 1, r = 100000;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (f(mid) >= n) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) cout << solve() << endl;
    return 0;
}

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本文作者：cyhforlight
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