CF1554B Cobb 题解

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给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(\{a_n\}\)，试找到一个整数对 \((i,j)\)，使得 \(ij-k(a_i|a_j)\) 最大，并输出最大值。（\(1\leq i<j\leq n\)）

\(n\leq 10^5,0\leq k \leq \min(n,100),0\leq a_i\leq n\)

分析

暴力枚举是 \(O(n^2)\) 的，显然无法通过。

我们注意到，根据数学或的性质，显然 \(0\leq a_i|a_j\leq 2\max(a_i,a_j)\leq a_n\)，那我们能否枚举 \(a_i|a_j\) 呢？

虽然这也不可取，不过这为我们打开了另一个思路。不难发现，\(ij\geq f(i,j)=ij-k(a_i|a_j)\geq ij-kn\)，那么我们尝试给这个最大值设定一个下限，不妨为 \(f(n-1,n)=n(n-1)-k(a_{n-1}|a_n)\geq n(n-1)-2kn=n(n-2k-1)\) 。

那么，我们重新尝试枚举，发现左端点 \(l\) 至少得大于 \(n-2k-1\)，否则所得到的函数值 \(f(l,j)\) 必然不会大于 \(f(n-1,n)\)。这样，我们就成功的将枚举的复杂度从 \(O(n^2)\) 压到了 \(O(k^2)\)，能够成功 AC。

核心知识点：数学或的性质，\(a_i,k\) 的不寻常范围，数学分析

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 100010;
int n;
LL k, a[N];
LL solve() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> a[i];
    LL res = -1e18;
    for (LL i = max(1LL, n - 2 * k); i < n; ++i)
        for (LL j = i + 1; j <= n; ++j)
            res = max(res, i * j - k * (a[i] | a[j]));
    return res;
}
int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) cout << solve() << endl;
    return 0;
}