关于排序+单调性类问题的随笔
我们先来一个题解
题目链接：NC26251 小阳买水果
给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(\{a_n\}\)，尝试找出一个最长的连续子数列，使得其和大于零，并输出这个最长长度。（不存在则输出 \(0\) ）
\(1\leq n \leq 2*10^6,|a_i|\leq 10^3\)
朴素做法是 \(O(n^3)\) 的，用前缀和可以优化到 \(O(n^2)\)。
我们不妨将前缀和数列进行排序（带着自己的下标一起），值相同的情况下，我们就按照下标从小到大排序。这样之后，前面的值必然小于后面的值，那么我们就可以用一个标记来记录前面最小的下标（原数组里面的下标），然后不断维护更新即可。
不过我们需要考虑一下相同值的情况，所以我们在代码里面导入了vector加离散化的搞法。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 2000010;
int n;
struct Node {
int p;
LL v;
bool operator < (const Node &rhs) const {
if (v == rhs.v) return p < rhs.p;
return v < rhs.v;
}
} s[N];
//
int tot;
vector<int> e[N];
int main()
{
//read
scanf("%d", &n);
s[0].p = s[0].v = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
LL v;
scanf("%lld", &v);
s[i].p = i, s[i].v = s[i - 1].v + v;
}
//solve
sort(s, s + n + 1);
tot = 0;
e[++tot].push_back(s[0].p);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
if (s[i].v != s[i - 1].v) ++tot;
e[tot].push_back(s[i].p);
}
int p = e[1][0], ans = 0;
for (int i = 2; i <= tot; ++i) {
ans = max(ans, e[i][e[i].size() - 1] - p);
p = min(p, e[i][0]);
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
更加深入的研究：单调性+维护最大值问题
我们再来看一个题目：
对于一个数列 \(\{a_n\}\)，尝试找到一个数对 \((i,j)\)，要求满足 \(i<j,a_i<a_j\)，并尝试输出 \(a_j-a_i\) 的最大值。
\(n\leq 10^6\)
如果暴力枚举的话，复杂度是 \(O(n^2)\)，显然过不了。
我们可以考虑引入一手数据结构，对于 \(i\)，每次都能够高效查询 \([1,i-1]\) 上面的最小值是多少，随后不断更新答案即可。使用线段树的话，可以将总复杂度压到 \(O(n\log n)\)。
不过，我们显然犯不着写线段树：我们直接开一个变量来记录遍历到某一位时的最小值，处理完这一位之后，考虑将这一位的数更新为最小值即可，总复杂度 \(O(n)\)，代码如下：
int ans = -INF, Min = a[1];
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
ans = max(ans, a[i] - Min);
Min = min(Min, a[i]);
}
如果我们变换一下题目，改成求 \(j-i\) 的最大值呢？好像和上面的题目差不多了：对数列排个序，然后依次更新即可。
综上，上面的两个题目，分别属于这两个类型：
给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(\{a_n\}\)，要求满足 \(i<j,a_i<a_j\)，并尝试求出：
- \(j-i\) 的最大值
- \(a_j-a_i\) 的最大值
显然，数列的下标天然满足单调性，而且两两不相同，所以对于问题 1，我们直接从前到后遍历一遍即可。但是问题二则不同，因为数列的值不一定满足单调性，而且常常有重复值，所以我们需要排序（记录下标的那种），还要顺带处理好重复元素的问题。
带限制下的求解（随手写的
这类问题一般是处理 \(a_j-a_i\) 的，限制的是下标，例如著名的求最大平均值：
给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(\{a_n\}\)，尝试求出平均数最大的一个区间，且要求区间长度不小于 \(L\)。
\(1\leq L\leq n \leq 10^5\)
这是一个二分题，我们二分这个最大的平均数，然后将数列中的每一个数都减去它，然后看看数列中是否存在一个区间和大于等于零的子区间，存在的话则说明存在平均数大于等于它的区间。那么问题就变成了，在区间长度不小于 \(L\) 的情况下，找出区间和的可能的最大值。
其实加上这个限定条件也没啥：我们同样的先做一次前缀和，然后从下标 \(L\) 开始即可。代码很简单，此次不再赘述：
//这个代码仅供提供算法思路，真的想做上面那题，记得把LL改成double
LL s[N];
LL getMax(LL a[], int n, int L) {
for (int i = 1; i <= n; ++i)
s[i] = s[i - 1] + a[i];
LL res = -INF, Min = INF;
for (int i = L; i <= n; ++i) {
Min = min(Min, s[i - L]);
res = max(res, s[i] - Min);
}
return res;
}
这段代码里面，更新Min和res的顺序颠倒了下，不过无伤大雅（随便改改就好，这个没啥定式）
